这问题，乍一听，是不是有点像小时候课堂上，或者家里的长辈突然丢过来考你的那种？“来，想想看，三个数乘起来等于90，有几种办法？”简单得像是随口一问，但真要去掰扯清楚，把所有可能都掏出来晾晾，嘿，还真有点意思，特别是正整数解、负整数解，甚至再往外扩散一点点……它不像100那么规整（10乘10乘1？20乘5乘1？），也不像64那样有完美的立方根（4乘4乘4）。90，这数，有点“碎”，有点“散”，刚好给三个数的乘积留下了各种组合的缝隙。

要彻底搞懂“几乘几乘几等于90”到底有多少解，或者说，有哪些解，我们得从数学最基础，也最有力的一招开始——因数分解。就像你拆开一个复杂玩具，看看它里面都有哪些零件一样，我们要看看90这个数，它是由哪些最最基础的数，“质因数”给“拼”出来的。

90的质因数分解：
90 ÷ 2 = 45
45 ÷ 3 = 15
15 ÷ 3 = 5
5 ÷ 5 = 1
所以，90的质因数就是 2, 3, 3, 5。也就是说，90这个数，骨子里就是由一个2，两个3，一个5，这四个小不点儿相乘得来的： 2 × 3 × 3 × 5 = 90。

现在，我们的任务是，把这几个“零件”（2, 3, 3, 5），分到三个“篮子”里，每个篮子里的数乘起来，就代表一个乘数。三个篮子的乘积，必须是90。分的时候，允许某个篮子是空的吗？如果允许，空的篮子就代表乘数是1。当然，如果题目没特别限制，通常我们找的整数解里，是允许1出现的。所以，我们得考虑把1也请进来。

先说最直观、最常见的：正整数解。我们要找三个正整数 a, b, c，使得 a × b × c = 90。

怎么系统地找呢？可以想象成，我们有 {2, 3, 3, 5} 这堆质因数，还有无限个1可以随便用。我们要把它们分给 a, b, c 三个变量。为了不重复，我们可以规定，找到的三个数从小到大排列：1 ≤ a ≤ b ≤ c。

从最小的数开始尝试：
1. 如果 a = 1：那么 b × c 必须等于 90 ÷ 1 = 90。我们只需要找到所有乘以等于90的正整数对 (b, c)，并且 b ≤ c 就可以了。
找90的因数：1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90。
满足 b ≤ c 且 b × c = 90 的对有：
(1, 90) → 得到三个数的组合 {1, 1, 90}。你看，这里面就有两个1，没毛病，1 × 1 × 90 = 90。
(2, 45) → 得到 {1, 2, 45}。 1 × 2 × 45 = 90。
(3, 30) → 得到 {1, 3, 30}。 1 × 3 × 30 = 90。
(5, 18) → 得到 {1, 5, 18}。 1 × 5 × 18 = 90。
(6, 15) → 得到 {1, 6, 15}。 1 × 6 × 15 = 90。
(9, 10) → 得到 {1, 9, 10}。 1 × 9 × 10 = 90。
这里我们得到了 6 组包含1的正整数组合（集合）。

1. 如果 a > 1：那么 a 必须是 90 的因数，并且 a 不能太大。因为 a ≤ b ≤ c 且 a × b × c = 90，所以 a³ ≤ abc = 90。计算一下 90 的立方根，大约是 4.48。这意味着 a 只能是小于或等于 4 的因数。90 的因数里小于等于 4 的有 1, 2, 3。a=1 的情况已经找完了。所以我们只需要考虑 a=2 和 a=3 的情况。

   • 如果 a = 2：那么 b × c 必须等于 90 ÷ 2 = 45。我们需要找 b ≤ c 且 b × c = 45 的对，同时 b 必须 ≥ a = 2。
     45 的因数：1, 3, 5, 9, 15, 45。
     满足 b ≤ c, b × c = 45 且 b ≥ 2 的对有：
     (3, 15) → 得到 {2, 3, 15}。 2 × 3 × 15 = 90。
     (5, 9) → 得到 {2, 5, 9}。 2 × 5 × 9 = 90。
     注意，45的因数对还有(1, 45)，但 b 必须 ≥ 2，所以 (1, 45) 不符合这里 b 的条件。{2, 1, 45} 实际上就是前面 {1, 2, 45} 这组。

   • 如果 a = 3：那么 b × c 必须等于 90 ÷ 3 = 30。我们需要找 b ≤ c 且 b × c = 30 的对，同时 b 必须 ≥ a = 3。
     30 的因数：1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30。
     满足 b ≤ c, b × c = 30 且 b ≥ 3 的对有：
     (3, 10) → 得到 {3, 3, 10}。 3 × 3 × 10 = 90。
     (5, 6) → 得到 {3, 5, 6}。 3 × 5 × 6 = 90。
     注意，30的因数对还有(1, 30), (2, 15)。(1, 30) 的 b=1 不符合 b≥3。(2, 15) 的 b=2 不符合 b≥3。

   • 如果 a ≥ 4：前面说了，a 不能超过立方根 4.48。而且 a 必须是 90 的因数。大于3的因数有 5, 6, 9…。这些都大于 4.48。所以 a 不可能等于或大于 5。那么 a=4 呢？4 不是90的因数，abc=90 不可能有整数解如果a=4。所以我们已经找全了所有以 a ≤ b ≤ c 形式排列的正整数组合。

总结一下，不考虑顺序，仅仅看这三个数是哪些，满足乘积是90的正整数组合（集合）共有 10 组：
{1, 1, 90}
{1, 2, 45}
{1, 3, 30}
{1, 5, 18}
{1, 6, 15}
{1, 9, 10}
{2, 3, 15}
{2, 5, 9}
{3, 3, 10}
{3, 5, 6}

是不是看着挺丰富？这还没完呢。如果题目问的是“几乘几乘几等于90”的所有整数解呢？这就得把负数考虑进去了。

整数解里，三个数的乘积要是90（正数），那这三个数的负数个数只能是 0 个或者 2 个。
Case 1: 0 个负数，即全部是正整数。这已经找完了，上面列出的 10 组。
Case 2: 2 个负数， 1 个正数。

如果我们已经知道一组正整数解 {a, b, c}，比如 {1, 2, 45}，那对应的有 2 个负数的整数解组合就可以是 {-1, -2, 45}，{-1, 2, -45}，{1, -2, -45}。这三组，无论哪一组，三个数乘起来都是 (-)(-) (+) = (+)，结果是 90。

所以，对于上面找到的 10 组正整数组合：
1. 如果组合里的三个数都不同，比如 {1, 2, 45}，它能派生出 3 组含负数的组合：{-1, -2, 45}, {-1, 2, -45}, {1, -2, -45}。
这样的组合有 8 组（除了 {1, 1, 90} 和 {3, 3, 10}）。
这 8 组每组贡献 3 个含负数的组合，总共 8 × 3 = 24 组负整数组合。

1. 如果组合里有两个数相同，比如 {1, 1, 90}，它能派生出的含负数组合：{-1, -1, 90}, {-1, 1, -90}, {1, -1, -90}。这三组也都是合法的。
   这样的组合有 2 组 ({1, 1, 90} 和 {3, 3, 10})。
   这 2 组每组贡献 3 个含负数的组合，总共 2 × 3 = 6 组负整数组合。

总共不考虑顺序的整数解组合（包含负数的集合）有：10 组正整数组合 + 24 组负整数组合 (来自三数不同的正数组合) + 6 组负整数组合 (来自两数相同的正数组合) = 40 组。

不过，有时候问“几乘几乘几等于90”是问具体的排列，就是说 (1, 2, 45) 和 (2, 1, 45) 算不同的解。这在数学上叫做“有序解”。

如果考虑有序的正整数解 (a, b, c)：
对于每组 {a, b, c}：
* 如果 a, b, c 都不同（8组，比如 {1, 2, 45}），它们可以有 3! = 3 × 2 × 1 = 6 种不同的排列顺序。(1, 2, 45), (1, 45, 2), (2, 1, 45), (2, 45, 1), (45, 1, 2), (45, 2, 1)。
这 8 组贡献 8 × 6 = 48 个有序正整数解。
* 如果a, b, c中有两个数相同（2组，比如 {1, 1, 90}），比如 {x, x, y}，它们可以有 3! / 2! = 3 种不同的排列顺序。(x, x, y), (x, y, x), (y, x, x)。
这 2 组贡献 2 × 3 = 6 个有序正整数解。

总共有序的正整数解有 48 + 6 = 54 组。

如果考虑有序的整数解 (a, b, c)，包括负数：
我们知道，每一个有序正整数解 (a, b, c) 都能对应生成三个有序负整数解：(-a, -b, c), (-a, b, -c), (a, -b, -c)。
比如从有序正整数解 (1, 2, 45)，我们得到有序负整数解：(-1, -2, 45), (-1, 2, -45), (1, -2, -45)。
从有序正整数解 (1, 1, 90)，我们得到有序负整数解：(-1, -1, 90), (-1, 1, -90), (1, -1, -90)。
对于所有的 54 个有序正整数解，每个都能生成 3 个有序负整数解。
所以，有序的负整数解总数是 54 × 3 = 162 组。

有序整数解总数就是 有序正整数解 + 有序负整数解 = 54 + 162 = 216 组。

哇塞，一个小小的“几乘几乘几等于90”问题，如果深究下去，光是整数解，就能找出这么多种！从最初的质因数，到组合，再到排列，从正整数到负整数，一层层剥开，是不是觉得数学有时候挺像玩侦探游戏或者搭积木的？从最简单的零件，搭出所有可能的形状。

当然，如果再放飞一下思维，允许非整数解呢？那答案就无穷无尽了。你可以随便选一个非零的数作为第一个乘数，比如 0.1。那剩下的两个数乘积就得是 90 / 0.1 = 900。再随便选一个非零数作为第二个乘数，比如 $\sqrt{2}$。那第三个乘数就得是 $900 / \sqrt{2}$。你看，只要第一个和第二个数不是零，第三个数总能算出来，而且能构造出无数多的非整数组合。比如： 0.1 × 100 × 9 = 90； $1.5 \times 4 \times 15$ = 90； $\pi \times \frac{90}{\pi} \times 1 = 90$。这种情况下，答案是“无穷多组”。但通常咱们讨论几乘几乘几等于90，主要还是集中在整数解上。

这个题目，看似简单，却能带你把因数分解、质因数、组合、排列、正负数的概念都串一遍。它告诉你，一个简单的问题背后，可能有比你想象的要多得多的答案，取决于你设定的条件（是正整数还是整数？是看组合还是看排列？）。下次再碰到这种问题，别只满足于找到一组答案，试着去挖掘，去穷尽，那种把所有可能性都找出来的感觉，特棒！这才是数学思维的魅力所在，不是吗？