嘿，哥们姐们，有没有哪个数像 96 这样，看似普通，掰开了揉碎了，里头能藏这么多花样？今儿个咱们就来扒一扒这个 96，尤其是它那神秘的“几乘几乘几乘等于96”的玩法。这可不是光算术那么简单，这背后有逻辑，有探索，甚至有点小小的“ aha!” 时刻。

你想啊， 几乘几乘几乘等于96，这至少得是三个数相乘吧？哦不，标题里赫然写着“几乘几乘几乘”，这架势，怎么也得是四个数了！这就有点意思了。三个数相乘或许还好想，四个数？而且是等于 96 这个说大不大说小不小的数。一下脑子里可能冒出好多问号。是整数吗？可以是小数吗？可以是负数吗？嗯，通常咱们说这种分解，默认是整数哈，而且为了让问题不那么天马行空，咱们先聚焦在正整数上。毕竟，负数的话，变数太多了，一个负号就能让结果跟着翻个脸。

那么，如何找出那些隐藏在 96 背后的“几”呢？最直接的办法，是不是得把 96 这个家伙给“大卸八块”？没错，就是做它的质因数分解。96 是个偶数，除以 2 得 48；48 还是偶数，除以 2 得 24；24 还是偶数，除以 2 得 12；12 继续，除以 2 得 6；6 再除以 2 得 3。最后这个 3 是个质数。所以，96 等于 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3。看清楚了吗？是五个 2 和一个 3。

好了，我们的目标是找到 几乘几乘几乘等于96，也就是把这些质因数重新组合成四个数字，让它们相乘等于 96。

这就像是一堆积木：五个 2 和一个 3。现在要用这些积木搭出四堆来，每堆里的积木数相乘代表一个“几”。

咱们可以开始排列组合了。这过程有点像玩魔方，或者更像是在一个宝库里找宝贝，得有方法，也得有点耐心。

最“简单”的情况是什么？是不是直接把几个质因数拿出来当独立的“几”？比如，我们可以直接拿出其中的几个 2 和那个 3。但问题是，我们得凑够四个“几”。

方式一：拆散得比较彻底

既然有五个 2 和一个 3，我们能不能直接把其中的三个 2 和一个 3 单独拿出来？这样我们就有了 2，2，2，3 这四个数字。它们相乘是 2 × 2 × 2 × 3 = 24。不对，我们要的是 96。

看来不能这么简单粗暴。我们必须把所有的质因数都用上，并且组合成四个数字。

再试试看。我们有 2, 2, 2, 2, 2, 3。得凑出 A × B × C × D = 96。

如果 A=2，B=2，C=2，D=? 那么 D 就必须是 96 / (2 × 2 × 2) = 96 / 8 = 12。而 12 是由 2 × 2 × 3 组成的。这样我们的四个数就是 2, 2, 2, 12。你看，2 × 2 × 2 × 12 = 8 × 12 = 96。 Bingo! 找到一组： 2 × 2 × 2 × 12 = 96。

这组里的 12 是由两个 2 和一个 3 组合成的。

方式二：稍微合并一下

刚才我们用了三个 2 和一个 12。那能不能换个组合方式？比如，把两个 2 组合起来变成 4？

我们有 2, 2, 2, 2, 2, 3。如果拿出一个 2，再拿出一个 2，再拿出一个 2，最后一个数是不是就是剩下的所有质因数的乘积？剩下的有 2, 2, 3。它们乘起来是 2 × 2 × 3 = 12。所以，我们又得到了 2 × 2 × 2 × 12 = 96。这跟上面那组本质上是一样的，只是想的过程可能有点不同。

换一种合并方式。拿出两个 2 组合成 4。再拿出一个 2。再拿出一个 3。还剩下两个 2。把剩下的两个 2 组合成 4。这样我们就有了 4, 2, 3, 4。它们相乘是 4 × 2 × 3 × 4 = 8 × 12 = 96。 又找到一组： 4 × 2 × 3 × 4 = 96。 这看着是不是就不太一样了？数字的构成变了。

再来。把两个 2 组合成 4。再把另外两个 2 组合成 4。剩下一个 2 和一个 3。它们组合成 6。这样我们就有了 4, 4, 2, 6。相乘：4 × 4 × 2 × 6 = 16 × 12 = 96。 又一组： 4 × 4 × 2 × 6 = 96。 看起来也挺规整的。

继续玩积木。把三个 2 组合成 8。剩两个 2 和一个 3。它们组合成 12。这样我们就有了 8 和 12。但是我们得凑四个数。

怎么办？我们把那两个 2 单独拿出来，一个 3 也单独拿出来。这样我们就有了 8, 2, 2, 3。相乘：8 × 2 × 2 × 3 = 16 × 6 = 96。 找到一组： 8 × 2 × 2 × 3 = 96。

能不能把四个 2 组合成 16？剩下一个 2 和一个 3。它们组合成 6。这样我们就有了 16 和 6。还是只有两个数。得再拆！把 6 拆成 2 和 3。这样我们就有了 16, 2, 3。还是三个数。再拆 16？ 16 可以拆成 4 和 4，或者 2 和 8，或者 2 和 2 和 4，或者 2 和 2 和 2 和 2。

如果把 16 拆成 4 和 4，我们就有了 4, 4, 2, 3。 相乘：4 × 4 × 2 × 3 = 16 × 6 = 96。 没错，又回到了 4 × 4 × 2 × 6 = 96 那组的变体（只是数字顺序不同）。

如果把 16 拆成 2 和 8，我们就有了 2, 8, 2, 3。相乘：2 × 8 × 2 × 3 = 16 × 6 = 96。 这其实就是 8 × 2 × 2 × 3 = 96 这组的变体。

如果把 16 拆成 2, 2, 4，我们就有了 2, 2, 4, 2, 3。这变成五个数字了！不对，要四个。

思路得清晰。我们手里的“原料”是 2, 2, 2, 2, 2, 3。要分成四份，每份至少有一个质因数，然后这四份里的质因数乘起来组成四个数字。

我们可以考虑包含质数 3 的那个数字。它必须是 3 或者包含 3 的合数（比如 6, 12, 24, 48, 96）。

情况一：其中一个“几”是 3。那么剩下的三个“几”相乘必须等于 96 / 3 = 32。 32 的质因数是五个 2 (2 × 2 × 2 × 2 × 2)。现在要把这五个 2 分给三个数字。
* 分法 1: 一个数字拿三个 2 (组成 8)，一个拿一个 2 (组成 2)，一个拿一个 2 (组成 2)。那么这三个数就是 8, 2, 2。加上 3，我们的四数组合就是 3, 8, 2, 2。相乘：3 × 8 × 2 × 2 = 24 × 4 = 96。 Bingo! 3 × 8 × 2 × 2 = 96。这跟之前的 8 × 2 × 2 × 3 = 96 也是一样的。
* 分法 2: 一个数字拿两个 2 (组成 4)，一个拿两个 2 (组成 4)，一个拿一个 2 (组成 2)。那么这三个数就是 4, 4, 2。加上 3，我们的四数组合就是 3, 4, 4, 2。相乘：3 × 4 × 4 × 2 = 12 × 8 = 96。 Bingo! 3 × 4 × 4 × 2 = 96。这跟之前的 4 × 4 × 2 × 6 = 96 也是一样的（因为 3 × 2 = 6）。
* 分法 3: 一个数字拿四个 2 (组成 16)，剩下的一个 2 必须单独成为一个数字，但是这样只凑了两个数字 (16 和 2)。还差一个。凑不够三个。
* 分法 4: 一个数字拿五个 2 (组成 32)，剩下的没有了。凑不够三个。

所以，当一个“几”是 3 的时候，有效的组合就是 3, 2, 2, 8 和 3, 2, 4, 4 (考虑顺序的话会更多，但作为集合就是这两种)。

情况二：包含 3 的那个“几”不是 3，而是 3 和一些 2 的组合。
* 如果是 3 × 2 = 6。那么剩下的三个“几”相乘必须等于 96 / 6 = 16。16 的质因数是四个 2 (2 × 2 × 2 × 2)。现在要把这四个 2 分给三个数字。
* 分法 1: 一个拿两个 2 (组成 4)，一个拿一个 2 (组成 2)，一个拿一个 2 (组成 2)。那么这三个数就是 4, 2, 2。加上 6，我们的四数组合就是 6, 4, 2, 2。相乘：6 × 4 × 2 × 2 = 24 × 4 = 96。 Bingo! 6 × 4 × 2 × 2 = 96。
* 分法 2: 一个拿三个 2 (组成 8)，剩下的一个 2 必须单独成为一个数字。这样只有两个数字 (8 和 2)。凑不够三个。
所以，当一个“几”是 6 的时候，有效的组合是 6, 2, 2, 4。

* 如果是 3 × 2 × 2 = 12。那么剩下的三个“几”相乘必须等于 96 / 12 = 8。8 的质因数是三个 2 (2 × 2 × 2)。现在要把这三个 2 分给三个数字。
    * 分法 1: 一个拿一个 2 (组成 2)，一个拿一个 2 (组成 2)，一个拿一个 2 (组成 2)。那么这三个数就是 2, 2, 2。加上 12，我们的四数组合就是 12, 2, 2, 2。相乘：12 × 2 × 2 × 2 = 12 × 8 = **96**。 Bingo! **12 × 2 × 2 × 2 = 96**。这跟最开始找到的那组是一样的。

* 如果是 3 × 2 × 2 × 2 = 24。那么剩下的三个“几”相乘必须等于 96 / 24 = 4。4 的质因数是两个 2 (2 × 2)。现在要把这两个 2 分给三个数字。
    * 分法 1: 一个拿两个 2 (组成 4)，剩下的必须是 1 和 1。但咱们探讨的是正整数，且通常要求是因子。硬要说也可以是 24 × 4 × 1 × 1 = 96，但通常咱们不把 1 算作独立的“几”在这种分解问题里，因为它不改变乘积。所以，这种情况凑不够三个除了 1 以外的数字。

* 如果是 3 × 2 × 2 × 2 × 2 = 48。剩下的三个“几”相乘等于 96 / 48 = 2。2 的质因数就是一个 2。还是凑不够三个。

* 如果是 3 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 96。剩下的三个“几”相乘等于 96 / 96 = 1。更凑不够了。

这么梳理下来，刨除数字顺序不同但组成一样的组合，我们得到的四数正整数组合（每个数大于 1）有：

1. 2 × 2 × 2 × 12 = 96 (也可以写成 2, 2, 2, 12)
2. 2 × 2 × 4 × 6 = 96 (也可以写成 2, 2, 4, 6)
3. 2 × 3 × 4 × 4 = 96 (也可以写成 2, 3, 4, 4)
4. 2 × 2 × 3 × 8 = 96 (这和第一组本质相同，12=223，2,2,2,12 vs 2,2,3,8。哦等一下，仔细看质因数组成。2,2,2,12 -> 2,2,2,(223)。用了五个2一个3。 2,2,3,8 -> 2,2,3,(222)。用了五个2一个3。 没错，这是同一个组合，只是分配方式不同。)

让我重新整理一下基于质因数分配的思路。
我们有质因数：2, 2, 2, 2, 2, 3。要分给四个数字 A, B, C, D。每个数字是这些质因数的乘积。
A = 2^a1 * 3^b1
B = 2^a2 * 3^b2
C = 2^a3 * 3^b3
D = 2^a4 * 3^b4

要求 a1+a2+a3+a4 = 5 (因为有五个 2)
要求 b1+b2+b3+b4 = 1 (因为有一个 3)
并且 A, B, C, D 都是正整数，且咱们为了避免 1，要求每个数至少包含一个质因数。

因为 b1+b2+b3+b4 = 1，这意味着只有一个数包含了质因数 3。假设是 D，那么 b1=0, b2=0, b3=0, b4=1。
所以 D = 2^a4 * 3。A = 2^a1, B = 2^a2, C = 2^a3。
现在 a1+a2+a3+a4 = 5。并且要求 A, B, C, D > 1。

A = 2^a1 > 1 要求 a1 >= 1
B = 2^a2 > 1 要求 a2 >= 1
C = 2^a3 > 1 要求 a3 >= 1
D = 2^a4 * 3 > 1 肯定成立，因为 b4=1 并且咱们只讨论正整数因子。不过，为了让四个数都有“内容”，咱们要求 a1>=0, a2>=0, a3>=0, a4>=0 并且至少有三个 a 必须大于等于 1 （这样 A, B, C 至少是 2 的幂），而 D 因为有 3，本身就大于 1。但是为了凑够四个数，咱们其实是分配质因数到四个“筐”里，每个“筐”形成一个数。每个筐里至少得有一个质因数，不然那个数就是 1 了，咱们先不考虑 1。

所以，更准确地说，是把 {2, 2, 2, 2, 2, 3} 这六个质因数分成四组，每组的乘积构成一个数字。

可能性：
1. 3 单独一组 {3}，剩下的 {2, 2, 2, 2, 2} 分给三组。要求这三组乘积是 32，并且每组大于 1。
– {2}, {2}, {2, 2, 2} => 2, 2, 8。加上 3 => 2, 2, 3, 8。
– {2}, {2, 2}, {2, 2} => 2, 4, 4。加上 3 => 2, 3, 4, 4。
– {2}, {2}, {2}, {2, 2}? No, 3 groups of factors of 32.

1. 3 和一个 2 组成一组 {2, 3} => 6。剩下的 {2, 2, 2, 2} 分给三组。要求这三组乘积是 16，并且每组大于 1。
2. {2}, {2}, {2, 2} => 2, 2, 4。加上 6 => 2, 2, 4, 6。

3. {2}, {2}, {2}, {2}? No, 3 groups of factors of 16.

4. 3 和两个 2 组成一组 {2, 2, 3} => 12。剩下的 {2, 2, 2} 分给三组。要求这三组乘积是 8，并且每组大于 1。

5. {2}, {2}, {2} => 2, 2, 2。加上 12 => 2, 2, 2, 12。

6. 3 和三个 2 组成一组 {2, 2, 2, 3} => 24。剩下的 {2, 2} 分给三组。要求这三组乘积是 4，并且每组大于 1。

7. {2}, {2}, {1}? No 1s. Can’t split two 2s into three groups > 1.

8. 3 和四个 2 组成一组 {2, 2, 2, 2, 3} => 48。剩下的 {2} 分给三组。要求这三组乘积是 2。不可能分成三个大于 1 的数。

9. 3 和五个 2 组成一组 {2, 2, 2, 2, 2, 3} => 96。剩下的 {} 分给三组。要求乘积是 1。不可能分成三个大于 1 的数。

所以，排除掉包含 1 的情况，四数正整数相乘等于 96 的组合（不考虑顺序）主要有：

• 2, 2, 2, 12
• 2, 2, 4, 6
• 2, 3, 4, 4
• 2, 2, 3, 8 (和 2, 2, 2, 12 是一样的，只是组合方式不同)

等等，2, 2, 3, 8 和 2, 2, 2, 12 从集合角度看是不一样的啊！一个是 {2, 2, 3, 8}，另一个是 {2, 2, 2, 12}。

回顾一下我们的质因数分解：2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3。
要把这六个质因数分配到四个括号里，每个括号代表一个乘数。

分配方式的本质不同导致最终数字集合不同：

• 方式 A: 把 3 单独放在一个括号里。 剩下的五个 2 分给三个括号。

  • (2), (2), (2,2,2), (3) => 2, 2, 8, 3。组合 {2, 2, 3, 8}。
  • (2), (2,2), (2,2), (3) => 2, 4, 4, 3。组合 {2, 3, 4, 4}。
  • (2), (2), (2), (2,3) => 2, 2, 2, 6。组合 {2, 2, 2, 6}。
  • (2), (2), (2,2,3)? No, 3 group for 5 2s.

• 方式 B: 把 3 和一个 2 放在一起。 {2, 3} = 6。剩下的四个 2 分给三个括号。

  • (2), (2), (2,2), (2,3) => 2, 2, 4, 6。组合 {2, 2, 4, 6}。
  • (2), (2), (2), (2,2,3)? No, 3 groups for 4 2s.
  • (2), (2), (2), (6)? No, 3 groups for 4 2s.

• 方式 C: 把 3 和两个 2 放在一起。 {2, 2, 3} = 12。剩下的三个 2 分给三个括号。

  • (2), (2), (2), (2,2,3) => 2, 2, 2, 12。组合 {2, 2, 2, 12}。

• 方式 D: 把 3 和三个 2 放在一起。 {2, 2, 2, 3} = 24。剩下的两个 2 分给三个括号。不可能分成三个大于 1 的数。

• 方式 E: 把 3 和四个 2 放在一起。 {2, 2, 2, 2, 3} = 48。剩下的一个 2 分给三个括号。不可能分成三个大于 1 的数。

• 方式 F: 把 3 和五个 2 放在一起。 {2, 2, 2, 2, 2, 3} = 96。剩下的没有了。不可能分成四个大于 1 的数。

所以，抛开顺序，四数正整数相乘等于 96 的组合（每个数大于 1）有：

1. {2, 2, 3, 8} (例如：2 × 2 × 3 × 8 = 96)
2. {2, 3, 4, 4} (例如：2 × 3 × 4 × 4 = 96)
3. {2, 2, 4, 6} (例如：2 × 2 × 4 × 6 = 96)
4. {2, 2, 2, 12} (例如：2 × 2 × 2 × 12 = 96)
5. {2, 6, 8, 1}? 如果允许 1，组合就更多了，比如 2 × 6 × 8 × 1 = 96。 3 × 4 × 8 × 1 = 96。 2 × 4 × 12 × 1 = 96。 2 × 2 × 24 × 1 = 96。 2 × 3 × 16 × 1 = 96。 4 × 4 × 6 × 1 = 96。 3 × 2 × 16 × 1 = 96。 甚至 96 × 1 × 1 × 1 = 96。

问题通常是在不包含 1 的情况下讨论。所以上面列出的四组数字集合应该就是所有基本组合了。

当然，如果考虑这四个数字的顺序，那每种组合里数字不重复的 (比如 {2, 2, 4, 6}) 就能排列出 4!/(2!) = 12 种不同的乘法算式。数字有重复更多的组合 (比如 {2, 2, 2, 12}) 排列方式就不同。

比如说，对于 {2, 2, 2, 12}，可能的排列有：
2 × 2 × 2 × 12 = 96
2 × 2 × 12 × 2 = 96
2 × 12 × 2 × 2 = 96
12 × 2 × 2 × 2 = 96
一共有 4! / 3! = 4 种排列。

对于 {2, 3, 4, 4}，可能的排列有：
2 × 3 × 4 × 4 = 96
2 × 4 × 3 × 4 = 96
2 × 4 × 4 × 3 = 96
3 × 2 × 4 × 4 = 96
… 一共有 4! / 2! = 12 种排列。

对于 {2, 2, 4, 6}，可能的排列有：
2 × 2 × 4 × 6 = 96
2 × 2 × 6 × 4 = 96
2 × 4 × 2 × 6 = 96
2 × 4 × 6 × 2 = 96
… 一共有 4! / 2! = 12 种排列。

对于 {2, 2, 3, 8}，可能的排列有：
2 × 2 × 3 × 8 = 96
2 × 2 × 8 × 3 = 96
… 一共有 4! / 2! = 12 种排列。

所以，如果问题是“有哪些不同的四元组正整数相乘等于 96”，那答案就是上面列出的四种集合。如果问题是“有多少种不同的乘法算式形如 A × B × C × D = 96”，那就要计算每种集合的排列数并相加了。

这件事让我觉得挺有趣的，一个简单的数字，背后藏着不同的组合方式，就像生活里的可能性。有时候，换个角度看，或者把“积木”重新搭一搭，就能发现新的组合和答案。从质因数分解这个最基础的工具出发，一步步推导出所有可能的组合，这个过程本身就是一种享受。它告诉你，复杂的问题，往往可以通过分解到最基本的元素来解决。而且，不同的分解和组合方式，就像是通往同一个终点的不同小路，风景可能不太一样，但都能带你到达目的地。

当然，如果允许小数、分数、负数，那组合就无穷无尽了。比如 (-2) × (-2) × (-2) × 12 = -96。 (-2) × (-2) × 2 × (-12) = -96。 甚至 0.5 × 4 × 6 × 8 = 96。 但通常这类题目都在整数范畴内，尤其强调“几乘几”，更倾向于因子分解。而且，如果限定是正整数且大于 1，那上面的分析就差不多是全部了。

所以啊，下次再看到类似的数字游戏，别光盯着结果，试试去拆解它，看看它是由哪些“积木”搭成的，然后用这些积木去搭出符合要求的形状。这个过程，比单纯记住几个算式要有意思多了，也更锻炼脑子。这就是 几乘几乘几乘等于96 背后的故事，一个关于分解、组合和探索的小小数学旅程。希望你也觉得有意思！