不只一个答案!探寻还有几乘几几等于几的无数可能


哎呀,这问题,你说说看,初听之下是不是觉得挺简单?“几乘几乘几等于几”,不就是找三个数乘起来,看能得出个啥结果嘛。小学算术啊!可真要你坐下来,细细地、深挖着去想——除了那些课本上标准答案,比如2乘3乘4等于24,1乘1乘1等于1,还有几乘几乘几等于几呢?嗬!这水深着呢!远不止你想的那样简单。它简直就像个无底洞,越往里看,越觉得数字世界真是个奇妙又有点“野蛮生长”的地方。

你想啊,最最“规矩”的开始,就是那些正整数。比如,我们想知道,有哪三个正整数乘起来等于6?掰着手指头数,1乘以1乘以6等于6对吧?1乘以2乘以3呢?也等于6!那顺序变变算不算?1乘3乘2,2乘1乘3,2乘3乘1,3乘1乘2,3乘2乘1……如果你把这三个数当成是不同的“位置”上的数,那光是1, 2, 3这三个数字的组合,就有好几种排法。如果只看用到了哪“几”个数字,那就是1,1,6和1,2,3这两类。你看,才等于6,可能性已经不止一种了。

那换个数字,比如等于12?那组合就更多了:1乘1乘12,1乘2乘6,1乘3乘4,还有2乘2乘3。每一类因子组合,又可以排出不同的顺序。12这个数字不大吧?但能用三个正整数乘出来的“配方”已经有好几种了。是不是感觉数字越大,这背后的组合啊、花样啊,就越多?就像一个神奇的衣橱,目标数越大,能用来“搭配”的数字“衣服”就越丰富,搭出来的“造型”也就越多。

当然,如果你把等号右边那个“几”也放开,不固定它是什么,那就等于在问:随便抓三个正整数来乘,结果可能是哪些数?嗯,任何能被分解成三个正整数相乘的数。这个集合,老大了!但仍然是有限的,因为你用的原材料是正整数,结果当然也得是正整数。

可是,问题里可没说这“几”必须是正整数啊!如果允许是0呢?那简单了,只要有一个“几”是0,结果就铁定是0。所以,0乘任意数乘任意数,都等于0。那“还有几乘几乘几等于0”?海了去了!无穷多!只要其中有一个是0,剩下的两个数随便是什么(除了不能让分母为零之类的限制,但这里乘法没这问题),都成立。

如果允许是负数呢?哎呦,这下可就“炸锅了”。你想想,两个负数相乘是正数,再乘一个正数还是正数。三个负数相乘是负数。一个负数乘两个正数是负数。比如,等于100。正整数组合我们知道有1250, 1425, 1520, 11010, 2510……等等。但如果允许负数?1 * (-1) * (-100) 也等于100啊!(-2) * (-5) * 10 也等于100!甚至 (-1) * (-1) * 100 也行。每一个正整数的组合,都能通过改变符号,衍生出好几种负数组合。这可能性,一下就翻了好几番。

更刺激的来了!谁说“几”只能是整数啊?可以是小数啊,可以是分数啊,可以是那些带根号的无理数啊,甚至可以是圆周率π、自然对数的底e这些“神秘”的数字。这下,“还有几乘几乘几等于几”这个问题,它的解集规模,简直是指数级甚至超指数级膨胀!

假设我们想知道,“还有几乘几乘几等于10”,而且这“几”可以是任意实数(除了不能出现类似1/0这样的情况)。你想想,我随便挑一个实数,比如1.2345,再随便挑一个实数,比如根号2。那第三个数是多少才能让它们乘起来等于10?简单啊,就是10除以(1.2345 * 根号2)呗。这个结果肯定也是个实数(除非前两个数有一个是0,但我们讨论等于10,所以不会出现这种情况)。

这意味着什么?意味着我前两个数可以有无穷多的选择(因为实数是连续的,在任意两个实数之间都有无穷多个实数)。我挑一对不同的实数a和b,就能计算出一个唯一的实数c = 10 / (ab),使得 a * b * c = 10 成立。既然a和b有无穷多种组合方式(只要a和b都不为零),那能让结果等于10的三个实数的组合,简直就是无穷无尽*的!

你随便写一个不是零的实数作等号右边的结果,比如等于-7.89。问“还有几乘几乘几等于-7.89”?同样道理,随便挑两个非零实数a和b,第三个数c就定下来了:c = -7.89 / (a*b)。瞧,又是无穷多组解。

所以啊,这个看似简单的问题,它的复杂性和趣味性,完全取决于你给那个“几”设定的“门槛”有多高,以及等号右边那个“几”是不是个固定靶子。
如果限定是正整数,对于某个特定的结果(等号右边的那个数),解的组合是有限的(虽然可能很多,比如等于10000这种大数,因子组合就非常多了)。
如果放开到整数(包含负数和0),结果是0时有无穷多解,结果非0时,解的数量也大大增加,但对于特定结果,依然是基于因子分解,可能是有限类别组合,但每类组合有符号变化。
但如果允许是实数(或者说广义的数),那除了等号右边是0的情况需要特别处理(比如abc=0,只要一个为0就行,解也是无穷的),只要等号右边是一个非零的数,能让等式成立的三个数的组合,那都是无穷无尽的,多到你根本无法想象,就像宇宙中的星星一样多。

这不就像是我们生活中很多事情吗?达成一个目标,有没有“还有”别的路子?换个思路,换个搭档,换种方法……组合的方式简直是千变万化。有时候你局限了自己的“几”(只考虑整数、只考虑特定方法),就会觉得可能性有限。可一旦你把眼界放宽,允许“几”可以是各种各样的数(允许各种各样的资源、方法、合作伙伴),你会发现通往目标的路简直是条条大路通罗马,而且每一条路上的风景(组合)都可能完全不同。

几乘几乘几等于几”这句朴素的话,背后隐藏着的是数字世界最基础也最迷人的魔力——组合无穷的可能性。它提醒我们,不要被表面现象迷惑,一个简单的算式,一个随口的问题,剥开来看,也许是通往一个浩瀚宇宙的入口。下一次你看到或者想到这个算式,不妨问问自己,这里的“几”到底能是啥?等你改变了“几”的定义,你会发现,嘿,还有无穷多组几乘几乘几等于几,等着你去发现呢。这探索的过程,本身就充满了乐趣,不是吗?


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