说起来，这个“乘几乘几乘几等于64”的问题，听着简单，好像是给小学生出的口算题。但你真要较真起来，把它里里外外、彻彻底底地掰扯清楚，嘿，里面门道可不少呢！这不单单是找几个数的事儿，更像是在玩一场数字的组合游戏，看看 64 这个数字背后藏着多少种“三兄弟”的搭配。
咱们先从最直观、最“标准”的答案说起，那个一下子就能蹦到脑子里的。没错，就是 4 乘以 4 乘以 4。这太经典了，就像看到1+1就知道等于2一样自然。三个完全一样的数字，它们手牵手，一乘，啪！正好是 64。这无疑是最简洁、最和谐的一种解法。它代表着一种完美的对称。
但是，世界上的数字哪有那么单一？“几”可以是任何数字啊！如果咱们先把范围圈定在整数里，看看还有哪些“三兄弟”能完成这个任务。记住，乘法是有正负的，而且谁在前谁在后，有时候也挺重要的，尤其当咱们考虑“几”是不同数字的时候。
首先，得想想 64 的“基因”里都有啥。它的因子，也就是能把 64 整除的那些数，有哪些？ 1、2、4、8、16、32、64。还有它们的负数：-1、-2、-4、-8、-16、-32、-64。这些都是组成 64 的“基本零件”。
咱们找三个整数相乘等于 64。
第一种情况：全是正整数。
如果允许三个数字一样，那刚才的 4, 4, 4 就是头号选手。
如果数字可以不一样呢？咱们就得从 64 的正因子里挑三个。
可以有 1, 1, 64。你想啊，1乘以1还是1，再乘以64，可不就是64嘛。
换个组合，1, 2, 32。 1×2=2，2×32=64。对，没毛病。
再来，1, 4, 16。 1×4=4，4×16=64。这也是一组。
还有吗？1, 8, 8。 1×8=8，8×8=64。这组有两个一样的。
把 1 拿掉呢？从 2 开始找。
2, 2, 16。 2×2=4，4×16=64。这组有两个一样的。
2, 4, 8。 2×4=8，8×8=64。瞧，又一组。
再往下，从 4 开始？ 4, 4, 4 已经说过了。 4, 8, x？ 4×8=32，32×多少等于64？ 32×2。但 2、4、8 这组已经有了。 4, 16, x？ 4×16=64，64×多少等于64？ 64×1。这组是 1、4、16，也重复了。
好了，光看这几组 (1,1,64), (1,2,32), (1,4,16), (1,8,8), (2,2,16), (2,4,8), (4,4,4)，如果咱们不考虑顺序，只看这三个数字本身是谁，那正整数的组合就是这 7 种。
但如果“乘几乘几乘几”意味着三个特定的位置，比如第一个数、第二个数、第三个数，那顺序就得考虑进去了。比如 1, 2, 32 和 2, 1, 32 就是不同的排列方式。这叫排列组合了。
(1,1,64) 这种有两个 1 的，排列方式有 3 种：(1,1,64), (1,64,1), (64,1,1)。
(1,8,8) 和 (2,2,16) 也类似，各有 3 种排列。
(4,4,4) 这种三个都一样的，只有 1 种排列。
像 (1,2,32), (1,4,16), (2,4,8) 这种三个数都不一样的，它们各自有 3! (3的阶乘) = 3×2×1 = 6 种排列方式。
所以光正整数，如果考虑顺序，总共有 3 (from 1,1,64) + 6 (from 1,2,32) + 6 (from 1,4,16) + 3 (from 1,8,8) + 3 (from 2,2,16) + 6 (from 2,4,8) + 1 (from 4,4,4) = 28 种不同的有序正整数解！是不是比想象的多了不少？
第二种情况：包含负整数。
三个整数相乘等于正数 64，这意味着什么？要么三个都是正数（咱们刚讨论完了），要么是一个正数乘以两个负数。
所以，咱们可以拿上面找到的那些正数组合 (a, b, c)，然后把其中任意两个数变成负的。
比如 (1,1,64) 这组正数。对应的负数组合可以是：
(-1), (-1), 64。 (-1)×(-1)=1，1×64=64。
(-1), 1, (-64)。 (-1)×1=-1，(-1)×(-64)=64。
1, (-1), (-64)。 1×(-1)=-1，(-1)×(-64)=64。
(-64), (-1), 1。 (-64)×(-1)=64，64×1=64。
等等…
咱们可以这么想：拿任意一组不考虑顺序的正整数组合 {a, b, c}，如果 a, b, c 都不一样，那对应的负数组合 {(-a), (-b), c}，{a, (-b), (-c)}，{(-a), b, (-c)} 都能通过各种排列凑出 64。比如 {1, 2, 32}，那 { -1, -2, 32 }，{ 1, -2, -32 }，{ -1, 2, -32 } 都是可能的数字组合。
对于 {1, 2, 32} 这一组，对应的三个数字是 1, 2, 32。考虑两个负数的情况：
数字集合 {-1, -2, 32}：排列有 6 种 ((-1),(-2),32), ((-1),32,(-2)), ((-2),(-1),32), ((-2),32,(-1)), (32,(-1),(-2)), (32,(-2),(-1))。
数字集合 {1, -2, -32}：排列有 6 种。
数字集合 {-1, 2, -32}：排列有 6 种。
像 {1, 8, 8} 这种有两个一样的，对应的负数组合 { -1, -8, 8 }，{ 1, -8, -8 }。
{-1, -8, 8}：排列有 3 种 ((-1),(-8),8), ((-1),8,(-8)), (8,(-1),(-8))。
{1, -8, -8}：排列有 3 种。
像 {4, 4, 4} 这种三个一样的，对应的负数组合只有 { -4, -4, 4 }。
{-4, -4, 4}：排列有 3 种 ((-4),(-4),4), ((-4),4,(-4)), (4,(-4),(-4))。
把刚才正整数有序解的 28 种情况拿出来，对于每一个有序正数组合 (a, b, c)，只要它里面没有 0，我们都可以通过改变其中两个数的符号来得到新的有序负数组合：
(a, b, c) -> ( -a, -b, c ), ( -a, b, -c ), ( a, -b, -c )。
所以，除了那 28 种正整数解，每一种正数组合通常可以“衍生”出 3 种含负数的组合（只要那三个数都不是 0）。因为 64 的因子都不含 0，所以所有的 28 种正整数有序解都可以这样处理。
这样一来，含负整数的有序解就有 28 种正数组合，每种生成 3 种负数组合，总共 28 × 3 = 84 种！
把正整数的 28 种加上负整数的 84 种，光是有序整数的解法，总共就有 28 + 84 = 112 种！我的天，一个小小的 64，藏着这么多整数解法！
咱们再把思路打开一点。题目里可没说“几”必须是整数啊！它可以是分数、小数，甚至是无理数！
如果允许是分数或小数，那可能性就简直是无限多了。
比如，你可以用 0.5 乘以 0.5 乘以 256。 0.5×0.5 = 0.25，0.25×256 = 64。没毛病！
你也可以用 10 乘以 0.1 乘以 64。 10×0.1 = 1，1×64 = 64。
或者 1/2 乘以 1/4 乘以 512。 (1/2)×(1/4) = 1/8，(1/8)×512 = 64。
你可以随便选两个不等于零的数 a 和 b，只要它们相乘不等于零，那第三个数一定是 64 / (a × b)。只要这个结果存在，这三个数 (a, b, 64/(ab)) 就是一组解。因为你可以选任意的 a 和 b（除了 a=0 或 b=0），所以这种解法是无穷无尽*的。
甚至可以是无理数！咱们知道 4 是 64 的立方根，也就是 4×4×4=64。那如果是 $\sqrt[3]{64}$ 呢？哦，它就是 4。
那如果用别的无理数呢？比如 $\sqrt{2}$。你需要 $\sqrt{2} \times \text{某个数} \times \text{某个数} = 64$。
可以这样：$\sqrt{2}$ 乘以 $\sqrt{32}$ 乘以 4。 $\sqrt{2} \times \sqrt{32} = \sqrt{64} = 8$。 8×4 = 32。 等等，不对，这等于 32。
换个思路：$\sqrt{2} \times \sqrt{2} \times 32 = 2 \times 32 = 64$。 对！ $\sqrt{2}, \sqrt{2}, 32$ 这就是一组解。
还可以是 $\sqrt{2} \times (4\sqrt{2}) \times 8 = \sqrt{2} \times 4\sqrt{2} \times 8 = 4 \times (\sqrt{2}\times\sqrt{2}) \times 8 = 4 \times 2 \times 8 = 8 \times 8 = 64$。 所以 $\sqrt{2}, 4\sqrt{2}, 8$ 也是一组解。
只要凑够三个数，它们相乘等于 64，无论这些数是整数、分数、小数还是无理数，甚至复数（不过复数就更绕了，通常不在这类基础问题讨论范围），都算是答案。从这个角度看，“乘几乘几乘几等于64”的解是无穷多的！
所以啊，这个问题看着小，但要真想“讲透”，得看你把“几”的范围定在哪儿。
如果特指正整数，不考虑顺序，有 7 种组合。考虑顺序，有 28 种排列。
如果特指整数（含正负），不考虑顺序，除了正整数那 7 种组合外，每组 {a, b, c} （a,b,c都是正数）还能衍生出 { -a, -b, c } 这种形式的负数组合。
比如 {1,1,64} 对应 { -1, -1, 64 }。
{1,2,32} 对应 { -1, -2, 32 }。
{1,4,16} 对应 { -1, -4, 16 }。
{1,8,8} 对应 { -1, -8, 8 }。
{2,2,16} 对应 { -2, -2, 16 }。
{2,4,8} 对应 { -2, -4, 8 }。
{4,4,4} 对应 { -4, -4, 4 }。
所以不考虑顺序的整数组合共有 7 (全正) + 7 (两负一正) = 14 种。
如果考虑有序整数，那刚才算了，总共有 112 种。
而一旦放开到有理数（分数、小数）甚至实数（含无理数），那答案就是无穷多，数都数不清的。因为你可以任意取两个非零的数，第三个自然就被确定了。
你看，一个看似简单的“乘几乘几乘几等于64”，深究起来，可以从最基础的整数排列，一直聊到无穷无尽的实数解。这不就是数学的魅力嘛——有时限定条件下规律井然，放宽条件立刻展现出汪洋恣肆般的广阔。下次再有人问你这题，你可以问他一句：“你说的‘几’，到底是什么数啊？” 这个问题，可没听上去那么简单呢。