这个问题，像个幽灵，总在不经意间飘进脑子里，尤其是在深夜，或者对着一杯咖啡发呆的时候。无数乘无数等于几？直觉，那个从小跟着我们的算术直觉，会毫不犹豫地尖叫出一个答案：“那还用问？当然是更大的无数啊！”
听起来，多有道理。五乘以五是二十五，比五大。一万乘以一万是一亿，比一万大到不知哪里去了。那么，无数乘以无数，理所应当得到一个更“霸道”、更“无边无际”的无数。
但，如果我告诉你，这个直觉，从根上就错了呢？我们从小建立起来的那个坚固、可靠、一加一必定等于二的数学大厦，在“无数”这个概念面前，地基好像…有点松动了。
首先得掰扯清楚一件事，也是最核心的一件事：无数，这家伙压根就不是个数。你不能把它像对待数字3、数字5那样，扔进加减乘除的搅拌机里。它是个概念，是个状态，是个…方向。它代表着“永不停止”、“没有尽头”。当你试图用我们为有限世界设计的“四则运算”去框住它时，它就会开始捣乱，给你看各种悖论笑话。
所以，想搞懂“无数乘无数”，我们得换个赛道，换一种游戏规则。数学家们早就为我们准备好了工具，这个工具的名字听起来有点玄乎，叫做“势”（Cardinality）。
别被这个字吓到。说白了，“势”就是用来衡量一个集合里头有多少“东西”的。对于苹果、香蕉这种数得清的玩意儿，它的“势”就是它的个数。一筐苹果有10个，那它的“势”就是10。
真正好玩的地方在于，这个叫“势”的工具，也能拿来衡量无数！它让我们能够去“比较”不同无数之间的大小。怎么比？不是去数，因为你永远数不完。而是用一种更聪明、更根本的方法——“一一对应”。
想象一下，你左手抓着一把糖，右手抓着一把花生，你想知道哪个多，但你懒得数。最简单的办法是什么？左手拿一颗糖，右手拿一颗花生，配成一对，扔掉。再配一对，扔掉。一直配下去。最后，如果糖没了，花生还有剩，那花生就多。如果同时没，那就一样多。
这个简单到有点傻的方法，就是“一一对应”的精髓。现在，我们把这个方法用到无数身上。
我们先来看看最常见、最基础的那种无数——所有正整数（1, 2, 3, 4, …）。这个集合里的元素是无穷无尽的，对吧？数学家给这种最基础的“无数”取了个名字，叫“阿列夫零”（ℵ₀）。所有能和正整数集合“一一对应”的无穷集合，我们都说它的大小是阿列夫零。
比如说，所有偶数（2, 4, 6, 8, …）的集合。你可能会觉得，偶数只是整数的一部分，那偶数的个数肯定比整数少吧？
来，我们配个对看看。
每一个正整数n，我们都让它对应一个偶数2n。
1 -> 2
2 -> 4
3 -> 6
…
你看，每一个正整数都能找到一个独一无二的偶数跟它配对，一个不多，一个不少。这意味着什么？意味着，从“势”的角度看，偶数的个数和所有正整数的个数，是一样多的！它们都是阿列夫零。
这个结论是不是已经让你感觉脑子有点转不过弯了？别急，好戏才刚开始。
现在，我们终于可以回到最初的那个问题了：无数乘无数等于几？
这个问题其实是在问，一个阿列夫零大小的集合，与另一个阿列夫零大小的集合做“乘法”，得到的那个新集合，它的大小是多少？
集合的“乘法”听起来很怪，但你可以这么理解：想象一个棋盘，横坐标是所有的正整数（1, 2, 3, …），纵坐标也是所有的正整数（1, 2, 3, …）。这个棋盘上每一个交叉点，都代表一个坐标(x, y)，比如(1,1), (1,2), (2,1), (3,5)等等。这个由所有可能的坐标点组成的新集合，它的元素个数，就可以被看作是“无数乘以无数”。
那么，这个棋盘上无穷无尽的坐标点，它的总数，它的“势”，是多少呢？是比阿列夫零更大的一个无数吗？
答案是：不。它还是阿列夫零。
ℵ₀ × ℵ₀ = ℵ₀
我知道，这看起来简直不可理喻。一整片无限延伸的棋盘，上面的点竟然和一条无限延伸的线上的点一样多？
是的。因为我们可以用一种巧妙的方式，把棋盘上所有的点，不重不漏地“数”一遍，也就是把它们和正整数（1, 2, 3, …）建立起“一一对应”。
你可以想象一条贪吃蛇，从(1,1)点出发，按照斜线方向，像这样蜿蜒前进：
(1,1) -> (1,2) -> (2,1) -> (3,1) -> (2,2) -> (1,3) -> (1,4) -> (2,3) -> (3,2) -> (4,1) …
你看，只要我们一直这么走下去，棋盘上任何一个点，不管它在多么遥远的地方，最终都会被我们这条“贪吃蛇”走到。这就意味着，我们可以给这些点编号：(1,1)是第1个，(1,2)是第2个，(2,1)是第3个……
我们成功地把一个“二维的无数”，和一个“一维的无数”完美地对应了起来。所以，它们的“势”是相等的。无数乘以无数，结果还是那个无数。
这个结果就像一个魔术，彻底颠覆了我们基于有限世界的算术经验。在无穷的世界里，无数加上无数还是无数，无数乘以无数也还是那个无数。阿列夫零这个家伙，像一个贪婪的黑洞，吞噬一切，却自身不增不减。
故事到这里就结束了吗？远远没有。
因为，并不是所有的无数都生而平等。
我们刚才讨论的阿列夫零，被称为“可数无穷”。不管是整数、偶数、还是棋盘上的坐标点，只要你能找到一种方法，把它排成一队，一个一个数下去，那它就是可数的。
但是，存在着一种比阿列夫零更庞大、更“密集”、根本无法被“数”的无数。
那就是实数。
在0和1之间，有多少个实数？无数个。但这和整数的无数是完全不同的。你永远无法把0和1之间的所有实数排成一队。你试图列出第一个，比如0.1，那我总能在0和0.1之间找到一个0.05。你把0.05放在第二位，那我又能在0和0.05之间找到0.025……这个过程永无止境。你永远找不到那个“紧挨着0”的第一个实数。
这种无数，是“连续”的，密不透风的。数学家证明了，实数的“势”要比正整数的“势”大得多。他们给这种更高级的无数起了个名字，叫“连续统”（c）。
那么，如果我们问：一个连续统大小的无数，乘以一个阿列夫零大小的无数，等于多少？
或者，一个连续统乘以一个连续统呢？
答案，或许会让你失望，又或许会让你感到一种奇异的和谐。
c × ℵ₀ = c
c × c = c
那个更大的无数，那个“连续统”，它同样是一个贪婪的黑洞。它吞下了一个阿列夫零，自身毫无变化。它甚至吞下了另一个和自己一模一样的连续统，结果也还是它自己。
所以，“无数乘无数等于几”，这个看似简单的问题，根本没有一个简单的数字答案。它的答案是一个迷宫，一个需要你抛弃旧有观念、学习新规则才能走进去的迷宫。
它的答案取决于，你问的是哪一种“无数”。
是那个可以排成一队的、离散的、像一串无限珍珠项链的阿列夫零？还是那个密不透风、连续的、像一片汪洋大海的连续统？
对我们这些生活在有限世界里的人来说，去思考这些问题，本身就是一种奇妙的体验。它让我们窥见了逻辑的极限，感受到了人类思维可以触及的、最抽象也最深刻的领域。
下一次，当有人再问你“无数乘无数等于几”时，你大可以喝一口茶，然后告诉他：“这得看情况。但无论哪种情况，答案可能都和你想象的不太一样。”
这不仅仅是数学，这是思维的体操，是想象力的远征。它告诉我们，在我们熟悉的、坚实的现实世界之外，还存在着一个由纯粹逻辑构建的、光怪陆离却又无比严谨的宇宙。而那个宇宙的法则，常常会以最令人惊奇的方式，挑战我们所有的想当然。这个宇宙，到底还藏着多少种不同的“无数”呢？没人知道。探索，才刚刚开始。