无数乘无数的结果，取决于我们对“无数”的理解，以及所处的数学体系。它远非一个简单的数字乘法，而是一个蕴含深刻数学概念的复杂问题。
1. 集合论的角度：势的概念
在集合论中，“无数”并非只有一个。 我们可以用“势”（cardinality）来描述集合的大小，包括有限集合和无限集合。
- 可数无穷（Aleph-null, ℵ₀）: 指的是与自然数集合 {1, 2, 3, …} 具有一一对应关系的集合。例如，整数集合，有理数集合都是可数无穷。
- 不可数无穷（c）： 指的是比可数无穷“更大”的无穷，例如实数集合。实数集合无法与自然数集合建立一一对应。它也等于2的阿列夫零次方 (2ℵ₀ = c)。
那么，当“无数”指代不同的无穷集合的势时：
- ℵ₀ * ℵ₀ = ℵ₀: 两个可数无穷的集合的笛卡尔积（所有可能的有序对的集合）仍然是可数无穷的。 例如，自然数集合和自然数集合的笛卡尔积{(1,1), (1,2), (2,1), (2,2),…}仍然是可数无穷。
- c * c = c: 两个实数集合的笛卡尔积的势仍然是实数集合的势。 比如，二维平面上的所有点的集合的势和实数集合的势相同。
关键点: 这里的“乘法”指的是笛卡尔积运算带来的势的变化。
2. 极限的角度：不定式
在微积分中，我们经常遇到形式为 ∞ * ∞ 的极限式。 ∞ 这里代表一个趋于无穷大的过程。
- 如果 lim x→a f(x) = ∞ 且 lim x→a g(x) = ∞, 那么 lim x→a [f(x) * g(x)] = ∞.
当两个函数都趋于无穷大时，它们的乘积也趋于无穷大。这是最常见的理解方式。
但是，并非所有涉及无穷的表达式都可以直接计算。我们可能会遇到不定式，例如：
- 0 * ∞: 两个极限分别是0和无穷大的乘积。 结果未知，需要具体分析函数的收敛速度。
- ∞ – ∞: 两个极限都趋于无穷大，但它们的差的极限结果取决于具体函数的性质，可能是任何实数，无穷大，或者不存在。
关键点: 在极限中，无穷并非一个具体的数字，而是一个趋近于无穷的过程。 ∞ * ∞ 通常（但不总是）等于 ∞，但需要谨慎处理不定式。
3. 非标准分析的角度：超实数
非标准分析是一种数学理论，它扩展了实数系统，引入了无穷小和无穷大。 在这个系统中，可以定义超实数，其中包括比任何标准实数都大的无穷大。
- ω (omega): 通常用来表示一个正的无穷大超实数。
在这个语境下，ω * ω = ω2，这是一个“更大”的无穷大。
关键点: 超实数提供了一种严谨的方式来处理无穷小和无穷大，但需要对非标准分析的基本概念有所了解。
4. 哲学和现实世界的思考
从哲学的角度来看，“无数”的概念本身就具有模糊性。 现实世界中，我们很难真正遇到“无数”的情况。
- 宇宙的大小是有限的（尽管非常巨大），或者至少是可观测宇宙是有限的。
- 物质是离散的，原子，分子等都有最小的尺度。
因此，试图在现实世界中寻找“无数乘无数”的对应物，可能并没有实际意义。
总结
“无数乘无数等于多少”没有一个简单的答案。 它取决于我们对“无数”的定义，以及使用的数学工具。 从集合论的角度看，无穷的“势”相乘结果取决于集合的性质；从极限的角度看，∞ * ∞ 通常等于 ∞，但需要注意不定式；非标准分析则提供了超实数，允许更精细地处理无穷大。 最终，这个问题更多的是关于理解数学概念，而不是简单的计算。