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初中生解法：使用倍角公式
sin15°cos15° 乍一看，可能让人觉得无从下手。但如果我们敏锐地观察一下，会发现它很像倍角公式的一部分。 倍角公式中，sin2x = 2sinxcosx。 那么，sinxcosx = (1/2)sin2x。
现在，我们就可以把 sin15°cos15° 转化为 (1/2)sin(2 * 15°) = (1/2)sin30°。
我们都知道 sin30° = 1/2，所以 (1/2)sin30° = (1/2) * (1/2) = 1/4。 搞定！
高中生解法：依然是倍角公式，但更严谨
高中阶段，我们对三角函数的理解更为深刻，可以使用同样的倍角公式，但表述可以更严谨一些。
已知公式：sin2θ = 2sinθcosθ
因此，sinθcosθ = (1/2)sin2θ
令 θ = 15°，则 sin15°cos15° = (1/2)sin(2 * 15°) = (1/2)sin30°
又因为 sin30° = 1/2， 所以 sin15°cos15° = (1/2) * (1/2) = 1/4。
另一种高中解法：和差化积的反向运用
虽然用倍角公式最简单，但我们可以尝试用和差化积公式的反向思维来解决。记住和差化积公式：
- sinA + sinB = 2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2)
- sinA – sinB = 2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)
- cosA + cosB = 2cos((A+B)/2)cos((A-B)/2)
- cosA – cosB = -2sin((A+B)/2)sin((A-B)/2)
但是，这些公式和我们要求的问题直接关联不大。怎么办？ 我们考虑构造：
(sin15° + cos15°)² = sin²15° + 2sin15°cos15° + cos²15° = 1 + 2sin15°cos15°
同时，(sin15° + cos15°)² = (√2 * sin(15° + 45°))² = (√2 * sin60° )² = 2 * (√3/2)² = 2 * (3/4) = 3/2 (这里使用了辅助角公式)
所以, 1 + 2sin15°cos15° = 3/2
因此, 2sin15°cos15° = 1/2
最终，sin15°cos15° = 1/4
大学生的思考：复数与欧拉公式
大学里，我们学习了复数和欧拉公式：e^(ix) = cos(x) + isin(x)，其中 i 是虚数单位。
让我们来构造两个复数：
- z1 = cos(15°) + isin(15°)
- z2 = cos(15°) – isin(15°)
那么 z1 * z2 = (cos(15°) + isin(15°))(cos(15°) – isin(15°)) = cos²(15°) + sin²(15°) = 1 (利用了平方差公式和三角恒等式)
另外，我们知道 z1 = e^(i15°) 并且 z2 = e^(-i15°)
因此，z1 * z2 = e^(i15°) * e^(-i15°) = e^(0) = 1
好，现在回到我们要求的值： sin15°cos15°
我们知道 sin(2*15°) = sin30° = 1/2
而 sin(2*15°) = 2sin15°cos15°
所以 2sin15°cos15° = 1/2
最终，sin15°cos15° = 1/4
尽管有些绕，但展示了不同的数学工具如何解决同一个问题。 这种方法主要目的是为了说明可以使用复数分析的思路来解决三角函数的问题, 显得更”高大上” 一些。
编程验证：Python大法好
作为程序员，我们可以用代码来验证答案：
“`python
import math
angle = 15 * math.pi / 180 # 将角度转换为弧度
result = math.sin(angle) * math.cos(angle)
print(result) #输出 0.24999999999999994 约等于 0.25
“`
结果接近0.25，考虑到浮点数精度问题，可以认为等于1/4。 用代码验证，简单粗暴！
总而言之，无论使用哪种方法，sin15°cos15° 的结果都等于 1/4。选择哪种方法取决于你的数学基础和解决问题的偏好。