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方法一：利用二倍角公式 (经典三角解法)
这是解决此类问题的最常用方法。我们都知道正弦函数的二倍角公式：
sin(2α) = 2sin(α)cos(α)
观察题目中的式子：sin(75°)cos(75°)。 如果我们将它乘以2，然后再除以2，就正好可以凑成二倍角公式的形式：
sin(75°)cos(75°) = (1/2) * [2sin(75°)cos(75°)]
现在，中括号里的部分正好是sin(2 * 75°) = sin(150°)。 而sin(150°)等于sin(180° – 30°) = sin(30°) = 1/2。
因此，sin(75°)cos(75°) = (1/2) * (1/2) = 1/4。
方法二：利用和差角公式 (基础推导)
这种方法相对繁琐，但能更深入地理解三角函数的性质。我们需要先求出sin(75°)和cos(75°)的值，然后再相乘。
- 求sin(75°): sin(75°) = sin(45° + 30°) = sin(45°)cos(30°) + cos(45°)sin(30°) = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = (√6 + √2)/4
- 求cos(75°): cos(75°) = cos(45° + 30°) = cos(45°)cos(30°) – sin(45°)sin(30°) = (√2/2)(√3/2) – (√2/2)(1/2) = (√6 – √2)/4
现在，将它们相乘：
sin(75°)cos(75°) = [(√6 + √2)/4] * [(√6 – √2)/4]
利用平方差公式 (a+b)(a-b) = a² – b²：
sin(75°)cos(75°) = (6 – 2) / 16 = 4 / 16 = 1/4。
方法三：几何解释 (巧妙的图形转换)
这种方法不直接计算，而是通过几何关系来理解。 考虑一个顶角为150°的等腰三角形。 设腰长为1。 那么，三角形的面积是(1/2) * 1 * 1 * sin(150°) = (1/2) * (1/2) = 1/4。
现在，将这个等腰三角形沿顶角平分线切割成两个全等的直角三角形。 每个直角三角形的锐角分别是75°和15°。 直角边分别是sin(75°)和cos(75°)。
原来的等腰三角形面积等于两个直角三角形面积之和。 每个直角三角形的面积是(1/2) * sin(75°) * cos(75°)。
所以，2 * (1/2) * sin(75°) * cos(75°) = 1/4
因此，sin(75°)cos(75°) = 1/4。
总结：
无论使用哪种方法，最终答案都是1/4。 二倍角公式是最快捷方便的，和差角公式可以加深对三角函数运算的理解，而几何解释则提供了一种不同的视角。 理解多种解法有助于我们更全面地掌握三角函数的知识。