经典解法：倒推的艺术

多少 ÷ 多少 × 多少 = 12，这是一个寻找三个数的谜题，它们之间存在一种特殊的运算关系，最终结果等于12。解决这类问题最经典的方法就是“倒推”。

• 第一步：逆转乘法

  既然最后是乘以某个数得到12，那么我们可以先假设乘以的这个数。比如，假设我们乘以的数是3，那么问题就变成了：多少 ÷ 多少 = 12 ÷ 3 = 4
  * 第二步：逆转除法

  现在问题简化为：多少 ÷ 多少 = 4。 也就是说，我们需要找到两个数，一个是被除数，一个是除数，它们相除的结果是4。这很容易，比如 8 ÷ 2 = 4，或者 12 ÷ 3 = 4，甚至 4 ÷ 1 = 4。

• 第三步：组合答案

  把我们假设的“乘以的数”和“除法”部分的结果组合起来，就能得到一个完整的答案。

  • 如果假设乘以的数是3，且8 ÷ 2 = 4，那么一个解就是：8 ÷ 2 × 3 = 12
  • 如果假设乘以的数是3，且12 ÷ 3 = 4，那么一个解就是：12 ÷ 3 × 3 = 12
  • 如果假设乘以的数是3，且4 ÷ 1 = 4，那么一个解就是：4 ÷ 1 × 3 = 12

发散思维：代数方程的视角

我们可以把这个问题转化为代数方程：

设三个数分别为 a, b, c，那么问题就变成：

a / b * c = 12

或者写成：

ac / b = 12

进一步变形：

ac = 12b

从这个角度看，问题变成了：找到三个数a, b, c，使得a和c的乘积等于b的12倍。 这意味着，只要我们先随便设定b的值，然后找到两个数a和c，使得它们的乘积是12b即可。

例如：

• 如果 b = 1，那么 ac = 12。 我们可以选择 a = 3，c = 4。 所以一个解是：3 ÷ 1 × 4 = 12
• 如果 b = 2，那么 ac = 24。 我们可以选择 a = 6，c = 4。 所以一个解是：6 ÷ 2 × 4 = 12
• 如果 b = 3，那么 ac = 36。 我们可以选择 a = 9，c = 4。 所以一个解是：9 ÷ 3 × 4 = 12

实用技巧：利用倍数关系

核心在于理解“除”和“乘”的互逆关系。 最终结果是12，意味着经过一系列的“放大”（乘）和“缩小”（除）之后，数值停留在12。

记住：乘法增大数值，除法减小数值。为了得到12，可以先通过除法得到一个比12小的数，然后用乘法把它“放大”到12。反之亦然。

例如：

1. 先除后乘：

   • 比如，我们想让除数是2。 那么我们就要找到一个数，除以2之后比12小。 我们可以用 6 ÷ 2 = 3。 此时我们需要乘以一个数，才能让3变成12. 3 × 4 = 12。 所以 6 ÷ 2 × 4 = 12

   • 先乘后除：

   • 比如，我们想让乘数是6。 那么我们先让12 除以6。 12 ÷ 6 = 2。 找到这个除法以后，我们再反过来做。 2 × 6 = 12。 此时我们需要除以一个数，能让结果是2. 4 ÷ 2 = 2。 所以 4 ÷ 2 × 6 = 12

一些有趣的结论

• 解不唯一： 这个问题有无穷多个解。 只要满足 a / b * c = 12 这个关系，任何三个数都可以。
• 分数的妙用： 我们可以使用分数。例如 24 ÷ 4 × 0.5 = 3 ÷ 1 × 4 = 12
• 整数的限制： 如果限制 a, b, c 都是整数，那么解的数量依然很多，但不再是无穷多个。 我们可以通过穷举法找到所有可能的整数解。

总结

“多少 ÷ 多少 × 多少 = 12” 这个问题看似简单，却蕴含着丰富的数学思想。 无论是倒推法、代数方程，还是利用倍数关系，都能有效地解决这个问题。 最重要的是，理解乘法和除法的互逆关系，并灵活运用各种解题技巧。