∫(lnx)/x dx = ? 你问的是这个积分吧？
这玩意儿可比简单的乘法要有趣多了。咱们从几个不同的角度来把它解剖一下：
1. 换元法 (Substitution Method) – 正经解法
这可能是最常见，也最直接的方法。 观察到 (lnx) 的导数正好是 1/x，这简直是换元法的完美信号！
- 令
u = lnx - 那么
du = (1/x) dx
原积分变成了：
∫ u du
这简直太简单了！ 这部分的积分是：
(1/2)u² + C
最后别忘了换回去！ 将 u = lnx 代入：
(1/2)(lnx)² + C
所以， ∫(lnx)/x dx = (1/2)(lnx)² + C
2. 微分角度 – 更直观的理解
想想看，什么东西的导数是 (lnx)/x 呢？ 换句话说，我们要找到一个函数，其微小的变化（微分）就是 (lnx)/x dx。
我们已经知道 (lnx)² 的导数是什么。 利用链式法则：
d/dx ( (lnx)² ) = 2(lnx) * (1/x)
为了得到 (lnx)/x， 我们需要将 2 除掉， 从而得到：
d/dx ( (1/2)(lnx)² ) = (lnx) * (1/x)
加上一个常数C，求导为0，故而：
d/dx ( (1/2)(lnx)² + C ) = (lnx) * (1/x)
这说明 (1/2)(lnx)² + C 就是 (lnx)/x 的积分。
3. 几何意义 – 从面积出发 (简单理解)
虽然不像上面两种方法那么直接，但是从几何的角度思考也有助于理解积分的含义。积分本质上是求曲线下的面积。
考虑函数 y = (lnx)/x 。 在 x 轴上从某个点 a 到 b 的区域，函数曲线与 x 轴围成的面积就是 ∫ab (lnx)/x dx。 虽然我们不能直接看出这个面积的具体表达式，但我们知道它可以用上面计算出的不定积分 (1/2)(lnx)² + C 来计算，即：
∫ab (lnx)/x dx = [(1/2)(lnb)² + C] – [(1/2)(lna)² + C] = (1/2)[(lnb)² – (lna)²]
4. 错误思路 – 避免陷阱
有些人可能会尝试分部积分法，但在这个问题中，换元法是更简洁高效的选择。 分部积分也不是不行，只是徒增计算量，不如换元法简单粗暴。
总结
∫(lnx)/x dx = (1/2)(lnx)² + C
希望从不同的角度解释能让你彻底理解这个问题！ 记住，关键在于观察和选择合适的技巧。