我们来计算一下 lg4 × lg25 等于多少。这里 “lg” 代表以 10 为底的对数。

直接计算法（基础解法）

• 首先，计算 lg4。因为 4 = 2²，所以 lg4 = lg(2²) = 2lg2。
• 然后，计算 lg25。因为 25 = 5²，所以 lg25 = lg(5²) = 2lg5。
• 因此，lg4 × lg25 = (2lg2) × (2lg5) = 4lg2lg5。
• 接下来，利用一个重要的对数恒等式：lg2 + lg5 = lg(2×5) = lg10 = 1。 所以 lg5 = 1 – lg2。
• 将 lg5 = 1 – lg2 代入，得到 4lg2lg5 = 4lg2(1 – lg2) = 4lg2 – 4(lg2)²。
• 因为 lg2 是一个无理数，约为 0.3010，直接计算比较困难。但我们并不需要计算出具体值，而是要利用恒等式。

巧妙的解法（利用对数性质）

这种方法可以避免复杂的近似计算。

• 同样，lg4 × lg25 = 2lg2 × 2lg5 = 4lg2lg5。
• 再次利用 lg2 + lg5 = 1， 我们知道 lg5 = 1 – lg2
• 将 lg5 代入：4lg2lg5 = 4lg2(1 – lg2)
• 现在稍微转换一下思路，从最开始的式子入手。lg4 × lg25 = lg(2²) * lg(5²) = 2lg2 * 2lg5 = 4lg2lg5。
• 利用恒等式 lg(a*b) = lga + lgb
• lg10 = lg(2*5) = lg2 + lg5 =1
• 所以 (lg2 + lg5)² = 1² = 1
• 展开 (lg2 + lg5)² = (lg2)² + 2lg2lg5 + (lg5)² = 1
• 另外，(lg2 – lg5)² = (lg2)² – 2lg2lg5 + (lg5)²
• 两式相减，(lg2 + lg5)² – (lg2 – lg5)² = 4lg2lg5 = 1 – (lg2 – lg5)²
• 4lg2lg5 = lg4lg25, 所以 lg4lg25 = 1 – (lg2 – lg5)²
• 因为需要精确数值，而lg2 – lg5 的值不好直接计算，所以这种方法无法直接算出准确答案

最终计算

虽然上述推导提供了多种思路，但是似乎并没有直接算出最终结果。让我们回到：

• lg4 × lg25 = 4lg2lg5 = 4lg2(1 – lg2) = 4lg2 – 4(lg2)²

利用计算器我们可以得到 lg2 近似等于0.30103. 于是：

• 4lg2 – 4(lg2)² = 4 * 0.30103 – 4 * (0.30103)² = 1.20412 – 4 * 0.090619 = 1.20412 – 0.362476 = 0.841644

总结：

lg4 × lg25 ≈ 0.841644。 需要说明的是，没有利用对数公式得到简单整数解，而是近似解。