复数乘以复数等于多少

复数乘以复数等于多少

复数乘以复数，简单来说，依然是一个复数。但要理解这个过程，我们需要了解复数的本质以及乘法的规则。本文将用多种方式深入探讨这个问题，从代数运算到几何意义，力求全面清晰。

1. 代数角度：遵循分配律的运算

复数的一般形式是 a + bi，其中 a 和 b 是实数，i 是虚数单位，满足 i² = -1。假设我们有两个复数 z₁ = a + bi 和 z₂ = c + di，它们的乘积 z₁z₂ 可以通过展开计算得到：

z₁z₂ = (a + bi)(c + di)

利用分配律（类似于多项式乘法），我们有：

z₁z₂ = a(c + di) + bi(c + di)
z₁z₂ = ac + adi + bci + bdi²

因为 i² = -1，所以：

z₁z₂ = ac + adi + bci – bd

将实部和虚部分开：

z₁z₂ = (ac – bd) + (ad + bc)i

因此，两个复数相乘的结果仍然是一个复数，其实部是 (ac – bd)，虚部是 (ad + bc)。

举例：

(2 + 3i)(1 – i) = (2 * 1 – 3 * (-1)) + (2 * (-1) + 3 * 1)i = (2 + 3) + (-2 + 3)i = 5 + i

2. 几何角度：旋转与伸缩

复数不仅可以表示为 a + bi，还可以表示为极坐标形式 r(cosθ + isinθ)，其中 r 是复数的模（绝对值），θ 是复数的辐角（与实轴的夹角）。复数乘以复数，在几何上对应于旋转和伸缩的组合。

假设 z₁ = r₁(cosθ₁ + isinθ₁) 和 z₂ = r₂(cosθ₂ + isinθ₂)，那么它们的乘积为：

z₁z₂ = r₁(cosθ₁ + isinθ₁) * r₂(cosθ₂ + isinθ₂)
z₁z₂ = r₁r₂[(cosθ₁cosθ₂ – sinθ₁sinθ₂) + i(sinθ₁cosθ₂ + cosθ₁sinθ₂)]

根据三角函数的和角公式：

cos(θ₁ + θ₂) = cosθ₁cosθ₂ – sinθ₁sinθ₂
sin(θ₁ + θ₂) = sinθ₁cosθ₂ + cosθ₁sinθ₂

所以：

z₁z₂ = r₁r₂[cos(θ₁ + θ₂) + isin(θ₁ + θ₂)]

这个结果告诉我们，两个复数相乘，模长相乘 (r₁r₂)，辐角相加 (θ₁ + θ₂)。

几何解释：

举例：

假设 z₁ = 1 + i 和 z₂ = i。 z₁ 的模是 √2，辐角是 π/4。 z₂ 的模是 1，辐角是 π/2。

因此，z₁z₂ 的模是 √2 * 1 = √2，辐角是 π/4 + π/2 = 3π/4。

z₁z₂ = √2 [cos(3π/4) + isin(3π/4)] = √2 (-√2/2 + i√2/2) = -1 + i

实际上，(1 + i) * i = i + i² = i – 1 = -1 + i，与几何方法一致。

3. 特殊情况：共轭复数相乘

如果两个复数是共轭复数，即 z = a + bi 和 z̄ = a – bi，那么它们的乘积有特殊性质：

z * z̄ = (a + bi)(a – bi) = a² – abi + abi – b²i² = a² + b²

结果是一个实数，等于复数模长的平方。

举例：

4. 从更高角度看：复数域的封闭性

复数域是代数封闭的，这意味着复数进行加、减、乘、除（除数不为零）运算后，结果仍然是复数。上述代数和几何的推导都证明了复数相乘的结果必然是复数，保证了复数域的封闭性。这种封闭性是复数在数学和物理学中被广泛应用的重要原因。

总结

复数乘以复数，结果仍然是一个复数。可以通过代数方法，利用分配律和 i² = -1 进行计算。也可以从几何角度理解为对复数进行旋转和伸缩的组合。特殊情况下，共轭复数相乘的结果是一个实数。复数域的封闭性保证了复数运算的完备性。理解这些不同的角度，能更深入地掌握复数乘法的本质。