cosx · tanx 等于多少？ 这是一个看似简单，实则蕴含着一些需要仔细考虑的问题。答案会因情境和关注点不同而有不同的表达方式。
1. 最直接的代数运算：
从三角函数的定义出发，我们知道：
- tanx = sinx / cosx
因此，cosx · tanx = cosx · (sinx / cosx)
在 cosx ≠ 0 的前提下，我们可以将 cosx 约掉，得到：
cosx · tanx = sinx
这就是最简洁、最常用的答案。
2. 考虑定义域：
上面 “cosx · tanx = sinx” 的等式成立是有条件的。三角函数 tanx 的定义域是 {x | x ≠ kπ + π/2, k ∈ Z}，也就是说，当 x 等于 90° 的奇数倍时，tanx 没有定义。因此，更严谨的表述应该是：
当 x ≠ kπ + π/2 (k ∈ Z) 时，cosx · tanx = sinx。
当 x = kπ + π/2 (k ∈ Z) 时，tanx 无意义，所以 cosx · tanx 也就没有定义。即使此时 cosx = 0，也不能说 cosx · tanx = 0，因为根本没有定义。
3. 图形化的理解：
我们可以绘制 y = cosx · tanx 和 y = sinx 的图像。会发现，两个图像几乎完全重合，只是在 x = kπ + π/2 (k ∈ Z) 处，y = cosx · tanx 没有定义，形成一个个“空洞”。 y = sinx 在这些点是有定义的。
4. 从极限的角度看：
我们可以考察 x 趋近于 kπ + π/2 时，cosx · tanx 的极限。 比如考虑x -> (π/2)^- (从小于π/2的方向趋近于π/2) :
- cosx -> 0^+ （从正的方向趋近于0）
- tanx -> +∞
此时，cosx · tanx 的极限是 1，这与 sin(π/2) = 1 相符。
但是，由于 tanx 在 x = kπ + π/2 没有定义，因此极限存在并不能弥补函数本身在该点没有定义的事实。
5. 总结：
- 最简形式：cosx · tanx = sinx （需注意定义域限制）
- 完整形式：当 x ≠ kπ + π/2 (k ∈ Z) 时，cosx · tanx = sinx； 当 x = kπ + π/2 (k ∈ Z) 时，cosx · tanx 无意义。
所以，理解这个问题需要同时掌握三角函数的定义、定义域以及极限的概念。 简而言之，虽然在能运算的情况下，cosx · tanx 的确等于 sinx， 但必须要记住 tanx 的定义域限制。