√2 / 2 = ? 这个问题看似简单，实则蕴含着丰富的数学意义。答案当然是 0.707106781… (近似值) 或者维持 √2 / 2 的形式。但是，理解它不仅仅是记住一个数值，而是要深入到根号的本质、分数的意义以及三角函数的关联。

直接计算:

最直接的方法是使用计算器。输入 √2，然后除以 2，就能得到近似值 0.707106781… 这是简单粗暴但有效的途径，适合需要快速获取答案的场合。

化简与理解:

√2 / 2 这个形式已经是最简形式了，但我们可以从另一种角度理解它。 想象一个正方形，边长为 1。根据勾股定理，它的对角线长度为 √(1² + 1²) = √2。

现在，如果你有一个腰长为 1 的等腰直角三角形（也就是正方形被对角线分割成的两个三角形之一），那么它的斜边长就是 √2。 √2 / 2 代表什么呢？ 如果斜边长度（√2）除以 2，实际上并不能直接看到与三角形某个边的关系。

关键在于 有理化分母。

有理化分母:

√2 / 2 保持原样看起来很简洁，但是数学上我们更倾向于将分母变为整数。为此，我们需要将分子和分母同时乘以 √2：

(√2 / 2) * (√2 / √2) = (√2 * √2) / (2 * √2) = 2 / (2√2) = 1 / √2。

等等！这和最初的 √2 / 2 好像不一样了？其实是一样的！

为了更明显的看到它们的关系，我们对 新 得到的 1/√2 进行有理化分母操作：

(1 / √2) * (√2 / √2) = √2 / 2

看到了吗？ 我们又回到了最初的形式。 关键在于，√2 / 2 和 1 / √2 是完全等价的。 只不过形式不同，侧重的方面也不一样。 √2 / 2 更强调了 √2 与 2 的关系，而 1 / √2 则突出了 √2 的倒数。

三角函数的角度:

在三角函数中，这个值与特殊角密切相关。 还记得那个腰长为 1 的等腰直角三角形吗？ 它的两个锐角都是 45 度（或 π/4 弧度）。

• sin(45°) = 对边 / 斜边 = 1 / √2 = √2 / 2
• cos(45°) = 邻边 / 斜边 = 1 / √2 = √2 / 2

因此，√2 / 2 也是 sin(45°) 或 cos(45°) 的值！ 这将 √2 / 2 与三角学联系起来，赋予了它几何意义和在函数中的应用。

总结:

√2 / 2 等于大约 0.707106781… 它也可以表示为 1 / √2。 它不仅是一个数值，还与几何图形（正方形的对角线、等腰直角三角形）、三角函数 (sin(45°), cos(45°)) 紧密相连。 理解这些关联能更深刻地掌握这个看似简单的数学问题。 不仅仅要记住 √2 / 2 的值，更要理解它背后的数学意义。