结论先行：极限不存在的函数乘以极限存在的函数，结果是不确定的。可能存在，可能不存在，具体取决于两个函数的性质。

要理解这一点，我们需要从极限的定义和一些典型情况入手。

1. 极限的定义回顾 (严谨派)

严格地说，函数 f(x) 当 x 趋近于 a 时极限为 L，表示对于任意小的正数 ε，都存在一个正数 δ，使得当 0 < |x – a| < δ 时，都有 |f(x) – L| < ε。

极限存在的前提是 无论 x 从哪个方向趋近于 a，函数值都趋近于同一个值 L。极限不存在则意味着这个条件不满足。常见的极限不存在的情况包括：

• 震荡: 函数值在某个区间内剧烈震荡，无法趋近于任何一个确定的值 (例如 sin(1/x) 当 x 趋近于 0 时)。

• 无穷大: 函数值趋近于正无穷或负无穷 (例如 1/x 当 x 趋近于 0 时，单侧极限存在，双侧极限不存在)。

• 左右极限不相等: 从左侧趋近于 a 的极限和从右侧趋近于 a 的极限不相等 (例如阶跃函数)。

2. 案例分析 (举例说明派)

现在，让我们通过几个具体的例子来说明 “极限不存在 * 极限存在” 的各种可能性：

情况一：结果存在且为0 (最常见的情况)

• f(x) = sin(1/x) (x趋近于0时，极限不存在)
• g(x) = x (x趋近于0时，极限存在，且为0)

那么，h(x) = f(x) * g(x) = x * sin(1/x)。 根据夹逼定理（或三明治定理），由于 -|x| ≤ x * sin(1/x) ≤ |x|，且当 x 趋近于 0 时，-|x| 和 |x| 都趋近于 0，所以 h(x) = x * sin(1/x) 的极限也为 0。

在这个例子中，极限不存在的函数乘以极限存在的函数，结果是极限存在且为 0。

情况二：结果存在且不为0

这种情况比较少见，需要精心构造函数。

• f(x) = 1 + sign(sin(1/x)), where sign(x) = 1 if x > 0, 0 if x = 0, -1 if x < 0 (x趋近于0时，极限不存在)
• g(x) = 1 (x趋近于0时，极限存在，且为1)

那么，h(x) = f(x) * g(x) = f(x) = 1 + sign(sin(1/x))。虽然f(x) 在 x 趋近于 0 时极限不存在, 但是考虑一种特殊的逼近方式：取 x_n = 1/(nπ) ，则 sin(1/x_n) = sin(nπ) = 0, 所以 f(x_n) = 1 + sign(0) = 1。 另外一种逼近方式： 取 x_n = 1/(2nπ + π/2)，则 sin(1/x_n) = sin(2nπ + π/2) = 1, 所以 f(x_n) = 1 + sign(1) = 2。 由于存在不同的逼近方式得到不同的极限值, 因此h(x)的极限不存在。但是如果我们对f(x)进行一些修改, 构造特殊的g(x), 使其在某些特定点为零, 就可以让极限存在且不为零. 例如：构造一个函数g(x) = x^2, f(x) = 1/x, lim (x -> 0) f(x)不存在，lim (x -> 0) g(x) = 0。但是 lim (x -> 0) f(x) * g(x) = lim (x -> 0) 1/x * x^2 = lim (x -> 0) x = 0。 另外， 如果 f(x) = 2 + sin(1/x), lim (x -> 0) f(x)不存在. g(x) = 1, lim (x -> 0) g(x) = 1，那么 lim (x -> 0) f(x) * g(x) = lim (x -> 0) 2 + sin(1/x), 依旧不存在。但是我们可以调整g(x) = 2-sin(1/x). 则lim (x -> 0) f(x) * g(x) = lim (x -> 0) (2+sin(1/x))*(2-sin(1/x)) = lim(x -> 0) 4 – sin^2(1/x) = 4 – [0,1]，不存在。 但是如果 g(x) = 2. 最终结果是 4 + 2sin(1/x) 极限不存在。

情况三：结果不存在

• f(x) = 1/x (x趋近于0时，极限不存在，趋近于无穷大)
• g(x) = 2 (x趋近于0时，极限存在，且为2)

那么，h(x) = f(x) * g(x) = 2/x。 当 x 趋近于 0 时，2/x 的极限也不存在（趋近于无穷大）。

在这个例子中，极限不存在的函数乘以极限存在的函数，结果仍然是极限不存在。

情况四：g(x) 在 x = a 附近的某些特殊点取值为 0

这种情况下，需要更加细致的分析。如果 f(x) 的极限不存在，但 g(x) 在 x 趋近于 a 时极限为 0，并且 g(x) 以足够快的速度趋近于 0，以至于能够“压制” f(x) 的波动，那么结果可能存在。 反之，如果 g(x) 趋近于 0 的速度不够快，那么结果可能仍然不存在。

3. 本质分析 (理性派)

问题的关键在于极限不存在的函数 f(x) 在 a 附近的 行为。 如果 f(x) 的波动幅度受到 g(x) 的限制，那么结果可能存在；如果 f(x) 的波动幅度太大，或者 f(x) 趋近于无穷大的速度超过 g(x) 趋近于 0 的速度，那么结果就不存在。

更重要的是，我们要意识到极限的存在与否是 局部性质。 函数在某个点附近的行为决定了极限是否存在。

4. 总结 (干脆派)

综上所述，”极限不存在 * 极限存在” 的结果是不确定的。 要判断结果是否存在，需要具体分析两个函数在所考察的点附近的性质，尤其需要关注极限存在的函数是否趋近于 0，以及极限不存在的函数的波动或增长情况。 无法一概而论。