1 除以 3 的余数是 1。

但是，这看似简单的问题，却蕴含着一些有趣的数学概念和不同的理解方式。我们不妨从几个角度来剖析：

1. 小学算术的直接回答：

这是最基础也是最直接的答案。当我们用 1 除以 3 时，无法得到一个整数商。 3 乘以 0 等于 0， 1 减去 0 等于 1，因此余数是 1。

2. 数学公式的表达：

我们可以用下面的公式来表示除法运算：

被除数 = 除数 × 商 + 余数

在这个例子中：

1 = 3 × 0 + 1

清晰地表明，余数为 1。

3. 循环小数的思考：

如果你用计算器计算 1 ÷ 3，你会得到 0.3333… 这是一个无限循环小数。虽然结果不是整数，但它告诉我们 1 不足以被 3 整除，因此产生了”剩余”的部分。

4. 从同余的角度看 (高等数学)：

在数论中，我们使用同余的概念。 “a ≡ b (mod m)” 表示 a 和 b 除以 m 的余数相同。

那么，我们可以说：

1 ≡ 1 (mod 3)

这意味着 1 除以 3 的余数和 1 除以 3 的余数相同，都是 1。 虽然看起来是句废话，但它将这个问题置于更抽象的数学框架中。

5. 编程中的应用：

在编程中，我们经常使用取模运算符 (通常是 % 符号) 来计算余数。 在许多编程语言中，1 % 3 的结果就是 1。 这是一个非常常用的技巧，用于循环处理，奇偶数判断等等。

6. 日常生活中的类比：

假设你只有一块糖，想平均分给三个小朋友。显然，你无法将糖完整地分给每个人。每个人分到零块糖，而你还剩下那一块糖。这剩下的糖就是余数。

总结：

虽然 1 除以 3 的余数是 1 这个问题很简单，但从不同的角度思考，可以让我们更好地理解除法的本质、数学的抽象性，以及数学在实际生活中的应用。 简单的问题往往隐藏着深刻的道理。