极限的艺术：剖析 ln(n) / ln(n+1) 的秘密

当面对 ln(n) / ln(n+1) 这样的表达式时，我们其实在考察一个有趣的极限问题。它到底等于多少？ 答案是：

lim (n→∞) ln(n) / ln(n+1) = 1

接下来，我们将从多个角度来证明这个结论，让你彻底理解背后的原理。

1. 直接使用洛必达法则（L’Hôpital’s Rule）

这是最直接也是最常用的方法。 洛必达法则适用于处理形如 0/0 或 ∞/∞ 的不定式极限。 当 n 趋于无穷大时， ln(n) 和 ln(n+1) 都趋于无穷大，因此满足洛必达法则的使用条件。

应用洛必达法则，我们需要分别对分子和分母求导：

• 分子 ln(n) 的导数为 1/n
• 分母 ln(n+1) 的导数为 1/(n+1)

因此，

lim (n→∞) ln(n) / ln(n+1) = lim (n→∞) (1/n) / (1/(n+1)) = lim (n→∞) (n+1)/n = lim (n→∞) (1 + 1/n) = 1

当 n 趋于无穷大时， 1/n 趋于 0， 所以极限值为 1 + 0 = 1。

2. 利用对数性质和夹逼定理 (Squeeze Theorem)

我们可以利用对数的性质，将 ln(n+1) 进行变形：

ln(n+1) = ln[n(1 + 1/n)] = ln(n) + ln(1 + 1/n)

因此，

ln(n) / ln(n+1) = ln(n) / [ln(n) + ln(1 + 1/n)] = 1 / [1 + ln(1 + 1/n) / ln(n)]

当 n 趋于无穷大时， 1/n 趋于 0， 所以 ln(1 + 1/n) 趋于 ln(1) = 0。 同时， ln(n) 趋于无穷大。 因此， ln(1 + 1/n) / ln(n) 趋于 0。

所以，

lim (n→∞) ln(n) / ln(n+1) = lim (n→∞) 1 / [1 + ln(1 + 1/n) / ln(n)] = 1 / (1 + 0) = 1

3. 直观理解：对数的增长速度

虽然 ln(n) 和 ln(n+1) 都趋于无穷大，但它们的增长速度非常缓慢，并且非常接近。 当 n 变得非常大时， +1 这个微小的差异对整个对数值的影响可以忽略不计。 换句话说，对于很大的 n 来说， ln(n) 和 ln(n+1) 几乎相等，它们的比值自然趋近于 1。 这种直观的理解可以帮助你记住这个结论。

总结

通过洛必达法则、对数性质以及直观理解，我们都证明了 ln(n) / ln(n+1) 在 n 趋于无穷大时的极限为 1。 掌握这些方法，不仅可以解决这个问题，还能提升你解决类似极限问题的能力。