直接回答：

-1 除以 3 的余数是 2。

为什么？(不同角度的解析)

1. 从带余除法的定义出发：

带余除法指出，对于任何整数 a 和正整数 b，存在唯一的整数 q（商）和 r（余数），满足：

a = bq + r

其中 0 ≤ r < b。

对于 -1 和 3，我们寻找这样的 q 和 r：

-1 = 3 * q + r，且 0 ≤ r < 3

显然，当 q = -1 时，我们有：

-1 = 3 * (-1) + 2

此时，r = 2，满足 0 ≤ r < 3。 因此，余数为 2。

2. 考虑数轴：

在数轴上，-1 位于 0 的左侧。 我们要找到距离 -1 最近，且是 3 的倍数的位置。

3 的倍数包括：… -6, -3, 0, 3, 6…

-1 距离 -3 的距离是 2。 也就是说，从 -3 加上 2 就能得到 -1。 因此，余数为 2。

3. 模运算(Modular Arithmetic):

使用模运算符（通常表示为 %），我们计算的是余数。 不同编程语言中对负数取模的处理方式可能略有不同，但数学上，我们定义 -1 mod 3 为 2。 这是因为 2 和 -1 在模 3 的意义下是同余的，即它们除以 3 的余数相同。

-1 ≡ 2 (mod 3)

4. 避免误解：

一些初学者可能会错误地认为 -1 除以 3 的余数是 -1。 这是因为他们没有注意到余数的定义要求余数必须是非负数且小于除数。

5. 类比思考:

想象你有 -1 元钱，想要用 3 元买一个东西。 你需要先向别人借 3 元，才能买到这个东西，然后你还欠别人 2 元。 也就是说，你还差 2 元才能凑够 3 元。 这个“差 2 元”可以理解为余数为 2。 (虽然这个比喻不是很严谨，但有助于理解)

总结:

-1 除以 3 的余数为 2。 掌握带余除法的定义，并结合数轴、模运算等工具，能够更深刻地理解这个问题。 记住，余数必须是非负数且小于除数。