sin40° / cos50° = ?

答案是 1。 没错，就是这么简单。 但为什么呢？ 这就需要我们深入了解三角函数之间的关系，特别是互余角的特性。

1. 从基础开始：什么是互余角？

两个角的度数加起来等于90°，我们就说这两个角互为余角。 比如，40°和50°就是互余角，因为 40° + 50° = 90°。

2. 互余角和三角函数的关系：

对于互余的两个角 α 和 β （α + β = 90°），有以下重要的三角函数关系：

• sin α = cos β
• cos α = sin β

这就是解决问题的关键！

3. 证明！证明！

让我们用严谨的数学方法来证明 sin 40° = cos 50°。

因为 40° + 50° = 90°，所以 50° = 90° – 40°。

那么：

cos 50° = cos (90° – 40°)

根据三角函数的互余关系，cos (90° – θ) = sin θ。 所以：

cos (90° – 40°) = sin 40°

因此，sin 40° = cos 50°。 Q.E.D. (拉丁文 “quod erat demonstrandum” 的缩写，意思是”证明完毕”)

4. 代入计算：

现在，我们回到最初的问题：sin 40° / cos 50°

因为我们已经证明了 sin 40° = cos 50°，所以：

sin 40° / cos 50° = sin 40° / sin 40° = 1

5. 几何意义：

我们可以用直角三角形来直观地理解这个关系。 假设有一个直角三角形 ABC，其中∠C是直角，∠A = 40°，那么∠B = 50°。

• sin 40° = 对边/斜边 = BC/AB
• cos 50° = 邻边/斜边 = BC/AB

可以看到，sin 40° 和 cos 50° 都是 BC/AB，因此它们的值相等。

6. 另一种思考方式（更抽象一点）：

考虑单位圆。 在单位圆上，角 α 的正弦值对应于点 (cos α, sin α) 的纵坐标。 角 β 的余弦值对应于点 (cos β, sin β) 的横坐标。 当 α 和 β 互为余角时，这两个点在单位圆上关于 y=x 这条直线对称。 对称的点的横坐标和纵坐标互换，所以 sin α = cos β。

总结：

sin 40° / cos 50° = 1 的关键在于理解互余角的三角函数关系： 正弦等于余角的余弦。 无论是通过公式推导，还是几何直观，都能帮助我们理解这个简单但重要的三角函数性质。下次遇到类似的问题，你就可以轻松解决了！