355/113 约等于 π

这可能是你最快能想到的一个答案，也是精确度相当高的一个有理数近似。但“多少除以多少等于π？”这个问题的答案，远不止这一个。 它蕴含着丰富的数学思想，我们可以从不同的角度来审视它：

一、简单粗暴：定义出发

从π的定义出发，最直接的答案就是：

• 圆的周长 / 圆的直径 = π

这是 π 最初的定义，也是最根本的答案。简单明了，无可辩驳。 但这种答案在现实中用处不大，毕竟我们需要先知道圆的周长和直径才能得到π，相当于循环论证。

二、无穷的魅力：级数展开

π 可以通过各种无穷级数来表示。这意味着我们可以用无穷项相加或相乘的方式逼近π，而每一项都可能表现为两个数的比值。 这里给出几个常见的例子：

• 莱布尼茨公式：π/4 = 1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – …

  将其变形可得：π = 4 * (1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – …)。 理论上，只要计算足够多的项，就能无限逼近π。虽然收敛速度慢，但清晰地展现了π与无穷之间的联系。

• Wallis 乘积公式： π/2 = (2/1)(2/3)(4/3)(4/5)(6/5)(6/7)…

  同样，π = 2 * (2/1)(2/3)(4/3)(4/5)(6/5)(6/7)… 这个公式将 π 表示成无穷个分数相乘的形式。

• 尼拉卡塔·索马亚吉公式： π = 3 + 4(1/ (234) – 1/(456) + 1/(678) – …)
  这个级数收敛速度比莱布尼茨公式快很多。

这些级数展开提供了一种计算 π 的方法，也给出了“多少除以多少等于π”的无数个近似解。 每一个有限项的部分和/积，都可以看作是对π的一个有理数近似。

三、积分的艺术：微积分的视角

微积分提供了一种强大的工具来表示π，特别是通过定积分。

• 定积分： ∫(0 to 1) 4/(1+x²) dx = π

  这个积分代表了函数 4/(1+x²) 从 0 到 1 的曲线下的面积，该面积恰好等于 π。 因此，我们可以说 “面积 / 1 等于 π”，其中面积是指上述定积分的结果。 也可以近似的计算定积分的结果，然后求得除数。

• 更进一步： ∫(-1 to 1) √(1-x²) dx = π/2

  这代表了单位圆上半部分的面积。因此， π = 2 * ∫(-1 to 1) √(1-x²) dx 。

这些积分表示式，将 π 与几何图形的面积联系起来，并且可以通过数值积分的方法进行近似计算，从而获得 π 的近似有理数表示。

四、几何的巧思：构造法

虽然无法用尺规作图精确构造出长度为 π 的线段，但我们可以利用几何方法构造出近似的线段。例如，可以利用某些正多边形的周长与内切圆半径的比值来逼近 π。

五、超越数的本质：无解？

π 是一个无理数，更是超越数。这意味着它不能表示为任何整系数代数方程的根。 因此，严格意义上来说，不存在两个整数（或有理数）a 和 b，使得 a/b = π。我们找到的任何“多少除以多少等于π”的答案，都只是近似值。

总结：

“多少除以多少等于π？”这个问题没有唯一的答案， 只有不同精度和形式的近似解。π的魅力在于它的无限性和无理性，它连接了数学的各个分支，激发着人们不断探索和逼近。 无论用级数、积分，还是几何方法，我们都在不断地触及这个神秘而美丽的数学常数。 而 355/113 ，是我们在追求精确的道路上，一个值得铭记的里程碑。