arctanx 的意义是“正切值为 x 的角”，也就是说，如果 y = arctanx，那么 tany = x。 因此，tan(arctanx) 的意义就是“正切值为 x 的角的正切值”。 换句话说，先找一个角，这个角的正切值等于 x，然后求这个角的正切值，自然又回到了 x 本身。
所以，tan(arctanx) = x。
更严谨的讨论（涉及定义域与值域）
虽然结论看起来很简单，但我们需要注意定义域和值域的影响，以确保严谨性。
- arctanx 的定义域： x 可以是任意实数，即 x ∈ (-∞, +∞)。
- arctanx 的值域： arctanx 的结果是一个角度，这个角度的范围是 (-π/2, π/2)，也就是开区间。 我们通常选择这个区间作为反正切函数的主值区间，以保证函数的唯一性。
由于 tan(θ) 在 θ ∈ (-π/2, π/2) 上有定义且单调递增，并且能取到所有实数值，所以 tan(arctanx) 对于所有实数 x 都有意义。
形象化理解：
想象一个单位圆。 对于任意给定的 x 值，我们可以找到一个唯一的角度 θ ∈ (-π/2, π/2)，使得 tan(θ) = x。 这个 θ 就是 arctanx。 再对这个角度求正切值，自然会回到最初的 x。
举例说明：
- 如果 x = 1，那么 arctan(1) = π/4 (45 度)。 然后，tan(π/4) = 1。
- 如果 x = -1，那么 arctan(-1) = -π/4 (-45 度)。 然后，tan(-π/4) = -1。
- 如果 x = 0，那么 arctan(0) = 0。 然后，tan(0) = 0。
- 如果 x = √3，那么 arctan(√3) = π/3 (60 度)。 然后，tan(π/3) = √3。
总结：
tan(arctanx) = x 对所有实数 x 成立。 记住，arctanx 的结果是一个角度，这个角度的正切值等于 x。 因此，对这个角度求正切值，自然会得到 x。