一的平方加到n的平方，也就是求和公式：
$$1^2 + 2^2 + 3^2 + … + n^2 = \sum_{k=1}^{n} k^2$$
答案是：
$$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
下面我们将来探讨几种证明这个公式的方法，以及这个公式的一些有趣应用。
1. 数学归纳法（经典证明）
数学归纳法是一种严谨且常用的证明方法，适用于证明与自然数相关的公式。
-
基础情况 (n=1):
当 n=1 时，公式左边 = 1² = 1。 公式右边 = (1 * 2 * 3) / 6 = 1。 左边 = 右边，公式成立。 -
归纳假设:
假设对于某个整数 k，公式成立。 即：
$$1^2 + 2^2 + … + k^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$$ -
归纳步骤:
我们需要证明对于 k+1，公式也成立。 即：
$$1^2 + 2^2 + … + k^2 + (k+1)^2 = \frac{(k+1)(k+2)(2(k+1)+1)}{6}$$从归纳假设出发，我们可以将左边写成：
$$\frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2$$
现在，我们需要将这个表达式化简成右边的形式。
$$\frac{k(k+1)(2k+1) + 6(k+1)^2}{6}$$
提取公因式 (k+1)：
$$\frac{(k+1)[k(2k+1) + 6(k+1)]}{6}$$
展开并简化：
$$\frac{(k+1)(2k^2 + k + 6k + 6)}{6}$$
$$\frac{(k+1)(2k^2 + 7k + 6)}{6}$$
分解二次项：
$$\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$$
$$\frac{(k+1)(k+2)(2(k+1)+1)}{6}$$
这正是我们想要证明的右边的形式！
-
结论:
根据数学归纳法，对于所有正整数 n，公式 $$1^2 + 2^2 + … + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$ 成立。
2. 立方差公式的巧妙应用（代数方法）
这个证明方法利用了立方差公式的巧妙变形。
我们知道立方差公式：
$$(k+1)^3 – k^3 = 3k^2 + 3k + 1$$
对 k 从 1 到 n 求和：
$$\sum_{k=1}^{n} [(k+1)^3 – k^3] = \sum_{k=1}^{n} (3k^2 + 3k + 1)$$
左边是一个 telescoping sum（伸缩和），大部分项会相互抵消：
$$(2^3 – 1^3) + (3^3 – 2^3) + (4^3 – 3^3) + … + ((n+1)^3 – n^3) = (n+1)^3 – 1^3 = (n+1)^3 – 1$$
右边可以拆分成三个求和项：
$$3\sum_{k=1}^{n} k^2 + 3\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1$$
所以，我们有：
$$(n+1)^3 – 1 = 3\sum_{k=1}^{n} k^2 + 3\frac{n(n+1)}{2} + n$$
移项，得到我们要求的和：
$$3\sum_{k=1}^{n} k^2 = (n+1)^3 – 1 – 3\frac{n(n+1)}{2} – n$$
$$3\sum_{k=1}^{n} k^2 = n^3 + 3n^2 + 3n + 1 – 1 – \frac{3n^2 + 3n}{2} – n$$
$$3\sum_{k=1}^{n} k^2 = n^3 + \frac{3}{2}n^2 + \frac{1}{2}n$$
$$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{1}{3}(n^3 + \frac{3}{2}n^2 + \frac{1}{2}n)$$
$$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{2n^3 + 3n^2 + n}{6}$$
$$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(2n^2 + 3n + 1)}{6}$$
$$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
证毕。
3. 几何解释（不太严谨但直观）
虽然不能直接用几何给出严格证明，但我们可以用面积或体积的视角来感受一下。
想象一个三维空间，我们想用一些小立方体来填充它。 考虑一个逐渐增大的立方体，其边长从 1 增加到 n。 这个立方体的体积是 n³。 求和 1² + 2² + … + n² 类似于在某种程度上逼近这个立方体的体积。 由于涉及到平方，我们实际上是在处理面积的累积，而最终的结果与立方体的体积有关，这暗示了 n³ 这个量级。 分母中的 6 则反映了这些不同形状在组成整体结构时的比例关系。 这种解释更多的是提供一种直观感觉，而非严格的数学证明。
4. 应用举例
-
计算正方体的堆叠: 想象用边长为1的正方体堆叠成一个塔，第一层1个，第二层4个，第三层9个，以此类推，第n层 n² 个。 总共需要的正方体个数就是 ∑k²。 例如，堆叠5层，需要 5(6)(11)/6 = 55个正方体。
-
算法复杂度分析: 在一些算法中，时间复杂度可能与平方和有关。 例如，某些嵌套循环结构的运行次数就可以用平方和来表示，从而分析算法的效率。
-
概率问题: 在某些概率问题中，可能会涉及到计算平方和。 例如，计算某个随机变量方差时，可能会用到平方和公式。
总结
公式 $$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$ 不仅是数学中的一个经典公式，还在许多领域有着广泛的应用。 从严谨的数学归纳法到巧妙的代数变形，再到几何直觉的感受，我们多角度地理解了这个公式。 掌握这个公式，能够帮助我们解决许多实际问题，并加深对数学之美的理解。