我们来探究一下 cos(arctan(x)) 等于多少。这个问题涉及三角函数和反三角函数的复合，需要一些技巧才能解决。我们将用多种方法来理解和推导这个结果。

方法一：几何法（直角三角形大法）

1. 设定角度： 令 θ = arctan(x)。 这意味着 tan(θ) = x。 记住，arctan(x) 的定义域是所有实数，值域是 (-π/2, π/2)。

2. 构造三角形： 我们可以构造一个直角三角形，使 θ 成为其中的一个锐角。 由于 tan(θ) = x = x/1，我们可以将对边设为 x，邻边设为 1。

3. 计算斜边： 利用勾股定理，斜边长度为 √(x² + 1)。

4. 计算 cos(θ)： 现在我们可以计算 cos(θ) = 邻边 / 斜边 = 1 / √(x² + 1)。

因此，cos(arctan(x)) = 1 / √(x² + 1)。

方法二：三角恒等式法

1. 核心公式： 我们需要利用一个重要的三角恒等式：cos²(θ) + sin²(θ) = 1。 将它变形为 cos²(θ) = 1 – sin²(θ)，进而得到 cos(θ) = ±√(1 – sin²(θ))。

2. 转化 sin(θ)： 我们需要将 sin(θ) 用 tan(θ) 表示出来。 我们知道 tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)，所以 sin(θ) = tan(θ) * cos(θ)。 将这个式子代入 cos²(θ) + sin²(θ) = 1，得到 cos²(θ) + tan²(θ)cos²(θ) = 1。

3. 提取公因式： 提取 cos²(θ) 得到 cos²(θ)(1 + tan²(θ)) = 1。

4. 解出 cos(θ)： 因此，cos²(θ) = 1 / (1 + tan²(θ))， 那么 cos(θ) = ±√(1 / (1 + tan²(θ)))。

5. 代入 tan(θ) = x： 因为 θ = arctan(x)，所以 tan(θ) = x。 代入上式，得到 cos(arctan(x)) = ±√(1 / (1 + x²)) = ±1 / √(1 + x²)。

6. 确定符号： 由于 arctan(x) 的值域是 (-π/2, π/2)，在这个区间内，余弦函数 cos(θ) 恒为正。 因此，我们取正号。

所以，cos(arctan(x)) = 1 / √(x² + 1)。

方法三：函数图像观察（直观理解）

• 想象一下 arctan(x) 的图像。它的值域是 (-π/2, π/2)。
• 再想象一下 cos(θ) 在 (-π/2, π/2) 上的图像。 这是一个正值的，从0到1再回到0的部分曲线。
• 这意味着 cos(arctan(x)) 的值永远是正的。 这也印证了我们在第二种方法中需要选择正号的原因。

结论

通过以上三种方法，我们都得到了相同的结论：

cos(arctan(x)) = 1 / √(x² + 1)

这个公式在微积分，尤其是积分中经常用到，所以务必牢记！