sec arctan x 等于多少?
这个问题看似简单,实则涉及一些三角函数、反三角函数以及三角恒等式的知识。让我们用多种方式,将 sec(arctan(x))
求出来。
1. 几何方法:直观理解
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构建三角形: 假设
arctan(x) = θ
。 这意味着tan(θ) = x = x/1
。 我们可以构建一个直角三角形,其中一个锐角为θ
,它的对边长为x
,邻边长为1
。 -
求斜边: 利用勾股定理,斜边长为
√(1 + x²)
。 -
求 sec θ: 由于
sec(θ) = 1/cos(θ)
,而cos(θ) = 邻边/斜边 = 1/√(1 + x²)
。 因此,sec(θ) = 斜边/邻边 = √(1 + x²)/1 = √(1 + x²)
。 -
结论: 所以,
sec(arctan(x)) = √(1 + x²)
.
2. 公式推导:严谨证明
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定义: 令
y = arctan(x)
,则tan(y) = x
。 -
三角恒等式: 我们知道
sec²(y) = 1 + tan²(y)
。 -
代入: 将
tan(y) = x
代入上式,得到sec²(y) = 1 + x²
。 -
开方: 对两边开平方,得到
sec(y) = ±√(1 + x²)
. -
符号确定: 因为
arctan(x)
的值域是(-π/2, π/2)
,在这个区间内,sec(y)
始终是正的。 所以,sec(y) = √(1 + x²)
。 -
结论: 因此,
sec(arctan(x)) = √(1 + x²)
.
3. 另一种恒等式:殊途同归
cos(arctan(x))
的求法: 令y = arctan(x)
, 那么x = tan(y) = sin(y)/cos(y)
。 我们需要求出cos(y)
。cos²(y) + sin²(y) = 1
->cos²(y) + (xcos(y))² = 1
->cos²(y) (1 + x²) = 1
->cos²(y) = 1/(1 + x²)
.- 由于
arctan(x)
的范围是(-π/2, π/2)
, 所以这个区间的cos
值都是正的。 所以cos(arctan(x)) = 1/√(1 + x²)
. sec(arctan(x)) = 1/cos(arctan(x)) = √(1 + x²)
.
4. 数值验证:增强信心
我们可以通过数值计算来验证结果。 例如,当 x = 1
时,arctan(1) = π/4
,sec(π/4) = √2
。 而 √(1 + 1²) = √2
。 结果一致。 再比如,当 x = 0
时, arctan(0) = 0
, sec(0) = 1
。 而 √(1 + 0²) = 1
。结果再次一致。 这增强了我们对结果的信心。
总结:清晰结论
无论通过几何方法、公式推导还是数值验证,我们都得出了一致的结论:
sec(arctan(x)) = √(1 + x²)
.