secarctanx等于多少


sec arctan x 等于多少?

这个问题看似简单,实则涉及一些三角函数、反三角函数以及三角恒等式的知识。让我们用多种方式,将 sec(arctan(x)) 求出来。

1. 几何方法:直观理解

  • 构建三角形: 假设 arctan(x) = θ。 这意味着 tan(θ) = x = x/1。 我们可以构建一个直角三角形,其中一个锐角为 θ,它的对边长为 x,邻边长为 1

  • 求斜边: 利用勾股定理,斜边长为 √(1 + x²)

  • 求 sec θ: 由于 sec(θ) = 1/cos(θ),而 cos(θ) = 邻边/斜边 = 1/√(1 + x²)。 因此,sec(θ) = 斜边/邻边 = √(1 + x²)/1 = √(1 + x²)

  • 结论: 所以,sec(arctan(x)) = √(1 + x²).

2. 公式推导:严谨证明

  • 定义:y = arctan(x),则 tan(y) = x

  • 三角恒等式: 我们知道 sec²(y) = 1 + tan²(y)

  • 代入:tan(y) = x 代入上式,得到 sec²(y) = 1 + x²

  • 开方: 对两边开平方,得到 sec(y) = ±√(1 + x²).

  • 符号确定: 因为 arctan(x) 的值域是 (-π/2, π/2),在这个区间内,sec(y) 始终是正的。 所以,sec(y) = √(1 + x²)

  • 结论: 因此,sec(arctan(x)) = √(1 + x²).

3. 另一种恒等式:殊途同归

  • cos(arctan(x)) 的求法: 令 y = arctan(x), 那么 x = tan(y) = sin(y)/cos(y)。 我们需要求出 cos(y)
  • cos²(y) + sin²(y) = 1 -> cos²(y) + (xcos(y))² = 1 -> cos²(y) (1 + x²) = 1 -> cos²(y) = 1/(1 + x²).
  • 由于 arctan(x) 的范围是 (-π/2, π/2), 所以这个区间的 cos 值都是正的。 所以 cos(arctan(x)) = 1/√(1 + x²).
  • sec(arctan(x)) = 1/cos(arctan(x)) = √(1 + x²).

4. 数值验证:增强信心

我们可以通过数值计算来验证结果。 例如,当 x = 1 时,arctan(1) = π/4sec(π/4) = √2。 而 √(1 + 1²) = √2。 结果一致。 再比如,当 x = 0 时, arctan(0) = 0sec(0) = 1。 而 √(1 + 0²) = 1。结果再次一致。 这增强了我们对结果的信心。

总结:清晰结论

无论通过几何方法、公式推导还是数值验证,我们都得出了一致的结论:

sec(arctan(x)) = √(1 + x²).


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