sec arctan x 等于多少？

这个问题看似简单，实则涉及一些三角函数、反三角函数以及三角恒等式的知识。让我们用多种方式，将 sec(arctan(x)) 求出来。

1. 几何方法：直观理解

• 构建三角形: 假设 arctan(x) = θ。 这意味着 tan(θ) = x = x/1。 我们可以构建一个直角三角形，其中一个锐角为 θ，它的对边长为 x，邻边长为 1。

• 求斜边: 利用勾股定理，斜边长为 √(1 + x²)。

• 求 sec θ: 由于 sec(θ) = 1/cos(θ)，而 cos(θ) = 邻边/斜边 = 1/√(1 + x²)。 因此，sec(θ) = 斜边/邻边 = √(1 + x²)/1 = √(1 + x²)。

• 结论: 所以，sec(arctan(x)) = √(1 + x²).

2. 公式推导：严谨证明

• 定义: 令 y = arctan(x)，则 tan(y) = x。

• 三角恒等式: 我们知道 sec²(y) = 1 + tan²(y)。

• 代入: 将 tan(y) = x 代入上式，得到 sec²(y) = 1 + x²。

• 开方: 对两边开平方，得到 sec(y) = ±√(1 + x²).

• 符号确定: 因为 arctan(x) 的值域是 (-π/2, π/2)，在这个区间内，sec(y) 始终是正的。 所以，sec(y) = √(1 + x²)。

• 结论: 因此，sec(arctan(x)) = √(1 + x²).

3. 另一种恒等式：殊途同归

• cos(arctan(x)) 的求法： 令 y = arctan(x)， 那么 x = tan(y) = sin(y)/cos(y)。 我们需要求出 cos(y)。
• cos²(y) + sin²(y) = 1 -> cos²(y) + (xcos(y))² = 1 -> cos²(y) (1 + x²) = 1 -> cos²(y) = 1/(1 + x²).
• 由于 arctan(x) 的范围是 (-π/2, π/2), 所以这个区间的 cos 值都是正的。 所以 cos(arctan(x)) = 1/√(1 + x²).
• sec(arctan(x)) = 1/cos(arctan(x)) = √(1 + x²).

4. 数值验证：增强信心

我们可以通过数值计算来验证结果。 例如，当 x = 1 时，arctan(1) = π/4，sec(π/4) = √2。 而 √(1 + 1²) = √2。 结果一致。 再比如，当 x = 0 时， arctan(0) = 0， sec(0) = 1。 而 √(1 + 0²) = 1。结果再次一致。 这增强了我们对结果的信心。

总结：清晰结论

无论通过几何方法、公式推导还是数值验证，我们都得出了一致的结论：

sec(arctan(x)) = √(1 + x²).