1. 严格定义与极限基础

首先，要理解 lim x→0 到底在问什么。它不是在问“当 x 等于 0 时，函数的值是多少”，而是在问“当 x 无限接近 0 时，函数的值会趋向于什么”。这是一个极限的概念。

• 如果函数是 f(x) = x，那么 lim x→0 x = 0。 原因很直观：x 无限接近 0，那么函数值也无限接近 0。

• 如果函数是 f(x) = x^2，那么 lim x→0 x^2 = 0。道理同上。

• 重点：x 永远不等于 0

要彻底理解 lim x→0，必须明白：x 只是无限接近 0，但永远不等于 0。 这一点至关重要，因为它避免了直接代入 x = 0 可能导致的未定义的情况（比如分母为 0）。

1. 特殊情况：函数不存在/无意义

如果函数在 x=0 处没有定义（例如 f(x) = 1/x），或者函数在 0 附近的行为非常奇怪（例如剧烈震荡），那么 lim x→0 可能不存在。

• 例如： lim x→0 1/x 不存在。当 x 从正数方向趋近于 0 时，1/x 趋近于正无穷；当 x 从负数方向趋近于 0 时，1/x 趋近于负无穷。由于左右极限不相等，所以极限不存在。

• 不同角度看 lim x→0

• 图形角度：想象一下函数的图像。 lim x→0 表示当你沿着 x 轴向 0 靠近时，函数图像的高度趋向于哪个值。如果函数在 x=0 处有一个“洞”或者“断点”，但从两侧靠近时图像高度趋于同一个值，那么极限存在，且等于那个值。

• 数列角度： 你可以想象一个数列，数列中的每一项都比前一项更接近 0 (例如：0.1, 0.01, 0.001, …)。将这个数列中的每一项代入函数中，得到一个新的数列。 如果这个新的数列趋近于一个特定的值，那么 lim x→0 就等于那个值。

• 一个重要的例子: lim x→0 sin(x)/x = 1

这是一个经典的极限，它不是直接代入 x=0 得到的（因为会导致分母为 0）。 这个极限需要用洛必达法则或者其他特殊方法来证明。 它表明，当 x 非常接近 0 时， sin(x) 和 x 非常相似，它们的比值趋近于 1。

1. 总结：什么时候lim x→0 f(x) = f(0)？

如果函数 f(x) 在 x = 0 处是连续的，那么 lim x→0 f(x) = f(0)。 连续性意味着函数在那个点没有跳跃、断裂或者其他不正常的行为。 换句话说，你可以直接将 x=0 代入函数进行计算。

1. 再强调一次： x 不是 0，而是无限接近 0!

理解极限的关键在于理解”无限接近”的概念。 不要将 lim x→0 简单地理解为 “当 x 等于 0 时”。 这是一个动态过程，而不是一个静态赋值。

1. 用ε-δ语言来描述 (可选，面向更高级的读者)

更严格地说，lim x→0 f(x) = L 意味着：对于任意给定的 ε > 0 (无论多么小)，都存在一个 δ > 0，使得当 0 < |x - 0| < δ 时，|f(x) - L| < ε。

简单来说，这意味着你可以让 f(x) 无限接近 L，只要你让 x 足够接近 0 （但不等于 0）。