问题：1² + 2² + 3² + … + n² = ?
答案是：
$$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
下面，我们将从不同角度剖析这个公式的来龙去脉：
一、简单验证：小数据先看看
- n = 1: 1² = 1，公式结果: (1 * 2 * 3) / 6 = 1，正确！
- n = 2: 1² + 2² = 1 + 4 = 5，公式结果: (2 * 3 * 5) / 6 = 5，正确！
- n = 3: 1² + 2² + 3² = 1 + 4 + 9 = 14，公式结果: (3 * 4 * 7) / 6 = 14，正确！
初步验证，公式看起来靠谱。但仅仅靠谱是不够的，数学需要严谨的证明！
二、数学归纳法：严谨的证明
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基础情形 (n = 1): 如上所示，公式对 n = 1 成立。
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归纳假设: 假设公式对某个整数 k 成立，即：
$$1^2 + 2^2 + … + k^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$$ -
归纳步骤: 我们需要证明公式对 k+1 也成立，也就是要证明：
$$1^2 + 2^2 + … + k^2 + (k+1)^2 = \frac{(k+1)(k+2)(2(k+1)+1)}{6} = \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$$从等式的左边出发：
$$1^2 + 2^2 + … + k^2 + (k+1)^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2 \quad \text{(根据归纳假设)}$$
$$= \frac{k(k+1)(2k+1) + 6(k+1)^2}{6}$$
$$= \frac{(k+1)[k(2k+1) + 6(k+1)]}{6}$$
$$= \frac{(k+1)(2k^2 + k + 6k + 6)}{6}$$
$$= \frac{(k+1)(2k^2 + 7k + 6)}{6}$$
$$= \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$$
这正是我们想要的结果！
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结论: 根据数学归纳法原理，公式对所有正整数 n 都成立。
三、几何解释：堆叠的秘密 (趣味视角)
想象用立方体堆塔，第一层 1 个，第二层 4 个，第三层 9 个… 第 n 层 n² 个。 总共有多少个立方体？ 公式告诉我们是 n(n+1)(2n+1)/6 个。 虽然没有直接的几何直观，但可以帮助理解公式的意义。
四、微积分的影子：连续与离散的联系
积分 ∫x² dx 从 0 到 n 的结果是 n³/3。 而 ∑k² (k 从 1 到 n) 则是离散的和。 当 n 很大时，离散和会逼近积分值。 我们可以粗略认为 n(n+1)(2n+1)/6 ≈ 2n³/6 = n³/3。 这个视角可以帮助我们理解公式中 n³ 项的来源。
五、多项式拟合：另辟蹊径
我们可以假设 1² + 2² + … + n² = An³ + Bn² + Cn + D。 然后代入 n = 1, 2, 3, 4，得到一个四元一次方程组，解出 A, B, C, D。 这种方法虽然繁琐，但也是一种寻找公式的思路。
总结:
公式 $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ 给出了前 n 个平方数的和。 我们用数学归纳法进行了严谨的证明，并通过几何、微积分、多项式拟合等多种方式加深了对公式的理解。希望以上解释能够帮助你彻底理解这个问题！