当 x 趋近于 0 时，tan(x) 等于多少？ 答案是 0。

现在，让我们从多个角度、用不同的风格来深入探讨这个简单的结论。

1. 直观理解（图像法）：

想象一下正切函数的图像，它是一条蜿蜒起伏的曲线。 当 x 值越来越接近 0 时，曲线会越来越靠近 x 轴。 最终，当 x 无限接近于 0 时，tan(x) 的值也无限接近于 0。 就像一条蜿蜒的小溪最终汇入静止的湖泊一样。

2. 数学定义（三角函数定义）：

我们知道，tan(x) 可以表示为 sin(x) / cos(x)。

• 当 x 趋近于 0 时，sin(x) 趋近于 0。 这是一个基本极限： lim (x->0) sin(x) = 0。
• 当 x 趋近于 0 时，cos(x) 趋近于 1。 同样是一个基本极限： lim (x->0) cos(x) = 1。

因此：

lim (x->0) tan(x) = lim (x->0) sin(x) / cos(x) = 0 / 1 = 0

3. 泰勒展开/麦克劳林级数（高级方法）：

tan(x) 的麦克劳林级数（在 x = 0 附近的泰勒展开）是：

tan(x) = x + (x^3)/3 + (2x^5)/15 + …

当 x 趋近于 0 时，所有包含 x 的高次项都迅速趋近于 0。 因此，tan(x) 近似等于 x。 这意味着，当 x 无限接近于 0 时，tan(x) 也无限接近于 0。 就像从远处观察一棵树，只能看到主干，而忽略了细小的枝叶。

4. L’Hôpital’s Rule（洛必达法则）：

虽然不是直接应用，但可以稍微修改一下问题来展示洛必达法则的思想。 考虑极限 lim (x->0) sin(x)/x。 我们知道这个极限等于 1。 那么， lim (x->0) x/cos(x) 呢？ 答案显然是 0/1 = 0. 正切函数的分子sin(x)在0附近与x近似相同，这也从侧面支持了tan(x)在x=0附近也接近于0的结论。

5. 几何解释（单位圆）：

在单位圆中，tan(x) 表示一条切线的长度，这条切线从 (1, 0) 点开始，并与角 x 的终边相交。 当角 x 趋近于 0 时，这条切线的长度也趋近于 0。 想象一束光线从原点射出，当它几乎与 x 轴重合时，照射到单位圆上切线的长度几乎为零。

6. 编程角度（数值计算）：

在编程中，我们可以使用代码来验证这个结论。 以下是一个 Python 示例：

“`python
import math

x = 0.000001 # 非常接近 0 的数
tan_x = math.tan(x)
print(tan_x) # 输出结果非常接近 0
“`

即使使用非常小的 x 值，计算出的 tan(x) 也将非常接近 0。

总结:

无论从图像、数学定义、泰勒展开、几何解释还是数值计算的角度来看，当 x 趋近于 0 时，tan(x) 的值都趋近于 0。 因此， tan(0) = 0。 这是一个重要的三角函数极限，在微积分和工程学中都有广泛的应用。它就像一个基石，支撑着更复杂的数学结构。