1+2+3一直加到n等于多少?

1+2+3+…+n = ？求和公式及其应用详解

我们经常会遇到一个简单但又非常重要的数学问题：1 + 2 + 3 + … + n = ? 也就是说，从1开始，一直加到n，这个结果等于多少？

答案就是著名的高斯求和公式，也称为等差数列求和公式：

公式： 1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1) / 2

下面我们从不同的角度来理解和证明这个公式：

一、故事与直觉：高斯速算的故事

相传，小学时的高斯被老师布置了一道题：计算1到100的和。别的同学还在埋头苦算，高斯却很快给出了答案：5050。他是怎么算的呢？

高斯发现：

也就是说，共有50对数，每对数的和都是101。因此，总和就是 50 * 101 = 5050。

这个故事体现了高斯的敏锐观察力和数学天赋。它也为我们理解求和公式提供了一个直观的思路。

二、代数证明：严格的数学推导

假设S = 1 + 2 + 3 + … + (n-2) + (n-1) + n。我们可以倒过来写 S：

S = n + (n-1) + (n-2) + … + 3 + 2 + 1

现在，我们将这两个等式上下对应相加：

2S = (1+n) + (2+n-1) + (3+n-2) + … + (n-2+3) + (n-1+2) + (n+1)

注意到每个括号里的和都是 (n+1)，而且共有n个这样的括号。所以：

2S = n * (n+1)

因此：

S = n(n+1) / 2

这个证明简洁而有力，它用代数方法严谨地推导出了求和公式。

三、几何解释：图形化的理解

我们可以用几何图形来解释这个公式。想象一个由小方块组成的阶梯形，第一列有1个方块，第二列有2个方块，以此类推，最后一列有n个方块。这个阶梯形的总方块数就是1+2+3+…+n。

现在，我们复制一个完全相同的阶梯形，并将它倒过来拼在第一个阶梯形的旁边，形成一个矩形。这个矩形的长是 (n+1)，宽是 n，所以总共有 n(n+1) 个方块。

由于我们用了两个阶梯形，所以每个阶梯形的方块数是 n(n+1) / 2。这就再次验证了求和公式。

四、数学归纳法：一种证明方法

数学归纳法是一种常用的证明方法。要证明 1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1) / 2，我们需要分两步：

基础情况： 当 n = 1 时， 1 = 1 * (1+1) / 2 = 1，公式成立。
归纳假设： 假设当 n = k 时，公式成立，即 1 + 2 + 3 + … + k = k(k+1) / 2。
归纳步骤： 现在我们要证明当 n = k+1 时，公式也成立。也就是说，我们要证明 1 + 2 + 3 + … + k + (k+1) = (k+1)(k+2) / 2。

根据归纳假设，我们知道 1 + 2 + 3 + … + k = k(k+1) / 2。所以：

1 + 2 + 3 + … + k + (k+1) = k(k+1) / 2 + (k+1) = (k(k+1) + 2(k+1)) / 2 = (k+1)(k+2) / 2

因此，当 n = k+1 时，公式也成立。

根据数学归纳法，我们证明了对于所有正整数 n，公式 1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1) / 2 都成立。

五、应用举例：从简单到复杂

简单应用： 计算 1 + 2 + 3 + … + 100 的和。直接代入公式，得到 100 * (100+1) / 2 = 5050。
稍微复杂： 计算 11 + 12 + 13 + … + 50 的和。我们可以先计算 1 + 2 + … + 50 的和，再减去 1 + 2 + … + 10 的和。即 50 * 51 / 2 – 10 * 11 / 2 = 1275 – 55 = 1220。
高级应用： 在算法设计中，常常需要计算等差数列的和来估计时间复杂度或者空间复杂度。例如，一个循环执行 n 次，每次循环的操作数依次增加 1，2，3，…，n，那么总操作数就是 n(n+1) / 2，时间复杂度为 O(n^2)。

六、总结：公式的价值

1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1) / 2 这个公式不仅仅是一个数学公式，它还体现了一种重要的数学思想：

无论你是学生、程序员还是科研人员，理解和掌握这个公式都将对你有所帮助。它不仅能让你更快地解决问题，还能培养你的数学思维和解决问题的能力。希望以上的讲解能够帮助你彻底理解和掌握这个重要的求和公式。