1的平方加2的平方加到n的平方等于多少

问题：1² + 2² + 3² + … + n² = ?

这是一个经典的求和问题，涉及到平方和公式。答案是：

公式：

1² + 2² + 3² + … + n² = n(n+1)(2n+1) / 6

下面我们将从多个角度来理解和推导这个公式：

1. 公式记忆：

首先，我们可以尝试记住这个公式。它有如下特点：

记住这些特征，在考试或者需要快速应用的时候，可以帮助你迅速回忆起公式。

2. 数学归纳法证明：

这是证明公式的常用方法，严格且可靠。

基础情况 (n=1):

当 n=1 时，左边 = 1² = 1。右边 = 1(1+1)(2*1+1)/6 = 1*2*3/6 = 1。左边 = 右边，公式成立。
归纳假设:

假设对于某个正整数 k，公式成立。即： 1² + 2² + … + k² = k(k+1)(2k+1) / 6
归纳步骤:

我们需要证明对于 k+1，公式也成立。即： 1² + 2² + … + (k+1)² = (k+1)(k+2)(2(k+1)+1) / 6

从左边开始：

1² + 2² + … + (k+1)² = (1² + 2² + … + k²) + (k+1)²

根据归纳假设，我们可以将括号里的部分替换：

= k(k+1)(2k+1) / 6 + (k+1)²

= [k(k+1)(2k+1) + 6(k+1)²] / 6

= (k+1) [k(2k+1) + 6(k+1)] / 6

= (k+1) [2k² + k + 6k + 6] / 6

= (k+1) [2k² + 7k + 6] / 6

= (k+1) (k+2) (2k+3) / 6 (因为 2k² + 7k + 6 可以分解为 (k+2)(2k+3))

= (k+1) (k+2) (2(k+1)+1) / 6

这正是我们想要证明的右边的形式！
结论:

通过数学归纳法，我们证明了对于所有正整数 n，公式 1² + 2² + … + n² = n(n+1)(2n+1) / 6 都成立。

3. 立方差分解（一种不太直观的推导，但展现不同的数学思路）：

考虑恒等式： (k+1)³ – k³ = 3k² + 3k + 1

对 k 从 1 到 n 求和：

∑[(k+1)³ – k³] = ∑[3k² + 3k + 1] (求和符号 ∑ 表示累加)

左边是一个 Telescoping sum（伸缩和），大部分项会抵消：

(2³ – 1³) + (3³ – 2³) + (4³ – 3³) + … + ((n+1)³ – n³) = (n+1)³ – 1³ = (n+1)³ – 1

右边可以拆成三部分：

∑[3k² + 3k + 1] = 3∑k² + 3∑k + ∑1

我们知道：

所以， (n+1)³ – 1 = 3∑k² + 3[n(n+1)/2] + n

现在，解出 ∑k² (也就是 1² + 2² + … + n²):

3∑k² = (n+1)³ – 1 – 3[n(n+1)/2] – n

3∑k² = n³ + 3n² + 3n + 1 – 1 – (3n² + 3n)/2 – n

3∑k² = n³ + 3n²/2 + n/2

∑k² = (2n³ + 3n² + n) / 6

∑k² = n(2n² + 3n + 1) / 6

∑k² = n(n+1)(2n+1) / 6

4. 一些例子:

n = 2: 1² + 2² = 1 + 4 = 5. 公式： 2(2+1)(2*2+1)/6 = 2*3*5/6 = 5 (验证通过)
n = 3: 1² + 2² + 3² = 1 + 4 + 9 = 14. 公式： 3(3+1)(2*3+1)/6 = 3*4*7/6 = 14 (验证通过)
n = 5: 1² + 2² + 3² + 4² + 5² = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55。公式： 5(5+1)(2*5 + 1)/6 = 5*6*11/6 = 55 (验证通过)

总结:

公式 1² + 2² + 3² + … + n² = n(n+1)(2n+1) / 6 能够快速计算平方和。可以通过数学归纳法严谨证明，也可以通过立方差分解等方法推导。理解公式并能够熟练应用是解决相关问题的关键。

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