一元二次方程中，x1 + x2 = -b/a。 但这只是一个简单的结论，让我们深入剖析它背后的含义、推导过程和应用场景。

1. 最简洁的回答：韦达定理

对于一元二次方程 ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)，设它的两个根为 x1 和 x2，那么：

• x1 + x2 = -b/a
• x1 * x2 = c/a

这就是著名的韦达定理。 它直接给出了根与系数之间的关系。 因此，x1 + x2 = -b/a 就是最直接的答案。

2. 为什么要关注x1 + x2？它的意义是什么？

• 快速求解： 不必解出方程的具体根，直接利用系数就可以求得两根之和，这在某些题目中极大地简化了计算。
• 判断根的性质： 结合x1+x2和x1x2的正负，可以判断根的正负性，而无需解出方程。 例如，如果x1+x2 > 0且x1x2 > 0，则两根均为正。
• 构建新的方程： 知道两根之和与两根之积，可以反过来构造一元二次方程。
• 数学建模： 在一些实际问题中，我们可能更关心总和，而不是单个值。例如，在投资组合优化中，我们可能关注的是总收益，而不是每项投资的具体收益。

3. 如何证明x1 + x2 = -b/a？ 两种推导方法：

• 方法一：直接求解，再相加

  首先，利用求根公式求出 x1 和 x2：

  x1 = (-b + √(b² – 4ac)) / (2a)
  x2 = (-b – √(b² – 4ac)) / (2a)

  然后，将 x1 和 x2 相加：

  x1 + x2 = [(-b + √(b² – 4ac)) / (2a)] + [(-b – √(b² – 4ac)) / (2a)]

  化简后，可以消去根式部分，得到：

  x1 + x2 = -2b / (2a) = -b/a

• 方法二：利用根的定义，配方法

  假设 x1 和 x2 是方程 ax² + bx + c = 0 的根。 那么，可以将方程写成因式分解的形式：

  a(x – x1)(x – x2) = 0

  展开得：

  a(x² – (x1 + x2)x + x1x2) = 0

  ax² – a(x1 + x2)x + ax1x2 = 0

  对比原方程 ax² + bx + c = 0，我们有：

  -a(x1 + x2) = b

  因此，x1 + x2 = -b/a

  这种方法体现了“构造”的思想，在更复杂的数学问题中非常常见。

4. 举例说明，更清晰：

• 例1： 方程 x² – 5x + 6 = 0。 a=1, b=-5, c=6。 那么 x1 + x2 = -(-5)/1 = 5。 （实际上，这个方程的根是2和3， 2+3=5，验证了我们的结论）

• 例2： 方程 2x² + 4x – 1 = 0。 a=2, b=4, c=-1。 那么 x1 + x2 = -4/2 = -2。

• 例3：已知方程x²+mx+4=0的两根之和为-3，求m的值。 根据韦达定理，-m/1=-3，因此m=3

5. 易错点和注意事项：

• a ≠ 0： 必须确保方程是真正的一元二次方程，即二次项系数 a 不能为 0。
• 符号： 注意公式中的负号。 x1 + x2 = –b/a， 不要漏掉负号！
• 系数： 确保取的是正确系数。特别是在方程形式不标准的时候。
• 判别式： 虽然韦达定理成立，但如果判别式 Δ = b² – 4ac < 0， 则方程无实数根。这时，x1和x2是复数根，韦达定理仍然成立，只是根的意义扩展到了复数范围。

6. 总结:

掌握x1 + x2 = -b/a，不仅仅是记住一个公式，更重要的是理解其背后的数学思想和应用价值。 通过学习推导过程、分析应用场景、注意易错点，才能真正掌握韦达定理，并在解题中灵活运用。 希望以上讲解能让你对一元二次方程的根与系数关系有更深刻的理解！