(√2 + 1)² 等于多少？ 答案是 3 + 2√2。 下面我们用多种方式来拆解和理解这个看似简单，却蕴含数学之美的表达式。

一、直接展开（标准代数方式）

这是最直接也是最基础的方法：

(√2 + 1)² = (√2 + 1) * (√2 + 1)

利用分配律（也就是大家熟悉的“多项式乘多项式”）：

= √2 * √2 + √2 * 1 + 1 * √2 + 1 * 1

= 2 + √2 + √2 + 1

= 3 + 2√2

所以，(√2 + 1)² = 3 + 2√2

二、利用完全平方公式

完全平方公式是一个强大的工具，它可以简化计算：

(a + b)² = a² + 2ab + b²

在这个例子中， a = √2， b = 1。 代入公式：

(√2 + 1)² = (√2)² + 2 * √2 * 1 + 1²

= 2 + 2√2 + 1

= 3 + 2√2

同样得到答案：(√2 + 1)² = 3 + 2√2

三、几何解释（辅助理解）

我们可以用几何图形来理解这个平方的意义。 想象一个边长为 (√2 + 1) 的正方形。 这个正方形可以被分割成四个部分：

• 一个边长为 √2 的正方形，面积为 (√2)² = 2
• 一个边长为 1 的正方形，面积为 1² = 1
• 两个长为 √2，宽为 1 的矩形，每个矩形的面积为 √2 * 1 = √2

因此，整个正方形的面积就是这四个部分面积之和： 2 + 1 + √2 + √2 = 3 + 2√2

这种方式虽然不能直接算出答案，但是可以帮助我们更形象地理解平方的含义，以及展开式中各项的来源。

四、数值近似验证（检验答案）

我们可以用计算器来近似验证我们的答案是否正确。

√2 ≈ 1.414

(√2 + 1) ≈ 2.414

(√2 + 1)² ≈ (2.414)² ≈ 5.827

另一方面：

3 + 2√2 ≈ 3 + 2 * 1.414 ≈ 3 + 2.828 ≈ 5.828

可以看到，两种方法得到的结果非常接近，这验证了我们的答案的正确性。 （注意：由于 √2 是一个无限不循环小数，这里使用的近似值，所以结果会有细微差别）

总结

无论使用代数展开、完全平方公式，还是几何解释，我们都能得到相同的答案：(√2 + 1)² = 3 + 2√2。 数学的魅力就在于，不同的方法可以殊途同归，最终指向同一个真理。 最后，用近似值验证答案，也帮助我们更加确信结果的可靠性。