复数加其共轭复数，结果永远是一个实数。这个结果的数值是原复数实部的两倍。

让我们用几种不同的方式来理解这个简单的结论：

1. 代数方式：

• 复数的表示： 任何复数 z 都可以表示成 z = a + bi 的形式，其中：

  • a 是实部 (Real part)，记作 Re(z)
  • b 是虚部 (Imaginary part)，记作 Im(z)
  • i 是虚数单位，满足 i² = -1

• 共轭复数的定义： 复数 z = a + bi 的共轭复数，记作 z̄ (或 z*)，定义为 z̄ = a - bi。 也就是说，共轭复数就是把原复数的虚部取反。

• 计算： 现在，我们将复数 z 和它的共轭复数 z̄ 相加：

  z + z̄ = (a + bi) + (a - bi) = a + bi + a - bi = 2a

  我们可以看到，+bi 和 -bi 相互抵消了，只剩下 2a，这明显是一个实数，并且等于原复数实部的两倍。

2. 几何方式：

• 复平面： 我们可以把复数想象成复平面上的一个点，横轴代表实部，纵轴代表虚部。 那么，复数 z = a + bi 对应于复平面上的点 (a, b)。

• 共轭的意义： 共轭复数 z̄ = a - bi 对应于复平面上的点 (a, -b)。这意味着 z̄ 实际上就是 z 关于实轴的对称点。

• 加法的几何意义： 两个复数的加法可以看作向量的加法。将复数 z 和 z̄ 对应的向量进行相加，由于它们的虚部大小相等方向相反，所以它们的和向量会落在实轴上。 和向量的长度是 2a，表示的复数就是 2a + 0i = 2a，这是一个实数。

3. 特例验证：

• 纯实数： 如果 z = 5 (即 z = 5 + 0i)，那么 z̄ = 5 - 0i = 5，所以 z + z̄ = 5 + 5 = 10，是一个实数。

• 纯虚数： 如果 z = 3i (即 z = 0 + 3i)，那么 z̄ = 0 - 3i = -3i，所以 z + z̄ = 3i + (-3i) = 0，是一个实数。

• 一般复数： 如果 z = 2 + 4i，那么 z̄ = 2 - 4i，所以 z + z̄ = (2 + 4i) + (2 - 4i) = 4，是一个实数。

总结：

无论是通过代数运算、几何解释，还是特例验证，都可以得出结论：一个复数加上它的共轭复数，结果等于原复数实部的两倍，因此始终是一个实数。 记住这个性质，可以简化许多复数运算。