问题的答案：

ζ(3) ≈ 1.202056903159594285399738161511449990764986292…

这个值，也叫做 Apéry 常数。

这个答案从何而来？

简单来说，ζ(3) 是黎曼 Zeta 函数在 s=3 时的取值。 黎曼 Zeta 函数定义如下：

ζ(s) = 1/1^s + 1/2^s + 1/3^s + 1/4^s + … = Σ_n=1^∞ 1/n^s

对于 s=3，就是：

ζ(3) = 1/1³ + 1/2³ + 1/3³ + 1/4³ + … = 1/1 + 1/8 + 1/27 + 1/64 + …

为什么这个数如此重要？

• 数学之美：它连接了数论（自然数的幂次和）和分析（无穷级数）。

• 非有理数：Roger Apéry 在 1978 年证明了 ζ(3) 是一个无理数。这是证明它无理性的一个重要突破。在此之前，ζ(2) = π²/6 是有理数的倍数早就被欧拉证明，但对于奇数情况，则更加困难。

• 超越数？ 虽然我们知道 ζ(3) 是无理数，但目前尚未证明它是一个超越数。（一个数如果是代数方程的根，则称为代数数，不是代数数的实数称为超越数。例如，π 和 e 都是超越数）。这是一个悬而未决的问题。

• 物理学应用：Apéry 常数出现在各种物理问题中，比如量子电动力学和统计物理学的一些计算中。

如何计算 ζ(3) 的值？

直接使用级数定义来计算会非常慢，因为收敛速度很慢。 更有效的方法包括：

1. 数值积分：使用数值积分技术来逼近 ζ(3) 的积分表示。

2. 加速收敛技术：使用一些特殊的技巧来加速级数的收敛速度。比如欧拉变换或者 Kummer 变换。

3. 专用算法：专门为计算 Zeta 函数值设计的算法，例如使用高精度算术库来计算。

趣味拓展： Apéry 的证明

Apéry 的关于 ζ(3) 无理性的证明非常巧妙，他构造了两个数列 (a_n) 和 (b_n)，使得：

• a_n 和 b_n 都是整数。
• lim_n→∞ (b_n/a_n) = ζ(3)
• |ζ(3) – b_n/a_n| < 1/a_n^δ，其中 δ > 0

如果 ζ(3) = p/q 是有理数，那么我们可以找到一个足够大的 n 使得 a_nq * |ζ(3) – b_n/a_n| < 1 。

但是，a_nq * (ζ(3) – b_n/a_n) = a_nq * (p/q – b_n/a_n) = a_np – qb_n 是整数，所以其绝对值要么是0，要么大于等于1。 这与之前的结论矛盾，因此ζ(3)不可能是个有理数。

Apéry数列的定义很巧妙:

a_n = Σ_k=0ⁿ (ⁿC_k)² (^n+kC_k)
b_n = Σ_k=0ⁿ (ⁿC_k)² (^n+kC_k) { Σ_m=1ⁿ 1/m³ + Σ_m=1^k (-1)^m-1 / (2m³(ⁿC_m)(^n+mC_m)) }

(ⁿC_k) 表示二项式系数，也就是组合数。

虽然 Apéry 的证明很漂亮，但它也相当复杂，需要一些数学基础才能理解。

总结

ζ(3) 是一个迷人的数学常数，它的值约为 1.2020569… ，它不仅是一个无理数，而且与数论、分析和物理学都有着深刻的联系。 虽然无法用简单的公式精确表示，但我们可以使用各种数值方法来计算它的近似值。 它是数学世界中一个充满魅力的存在。