sin(2x) + cos(2x) 的值并没有一个固定的数值结果，它是一个三角函数表达式，其结果随着 x 的变化而变化。为了理解它，我们通常会将它进行恒等变形。

直接的理解：图像与周期性

首先，我们可以从图像的角度直观地理解。 y = sin(2x) + cos(2x) 的图像是一条正弦曲线，但既不是纯粹的正弦，也不是纯粹的余弦。它的振幅、相位和位置都发生了改变。

由于 sin(2x) 和 cos(2x) 的周期都是 π，因此 sin(2x) + cos(2x) 的周期也是 π。这意味着每隔 π，函数的图像会重复。

三角恒等变换（代数角度）

我们可以利用三角恒等式对 sin(2x) + cos(2x) 进行变形，让它更易于分析：

1. 辅助角公式： 核心思想是将 a sin(x) + b cos(x) 转化为 A sin(x + φ) 或 A cos(x – φ) 的形式。

2. 令 sin(2x) + cos(2x) = A sin(2x + φ)

3. 展开 A sin(2x + φ) = A sin(2x) cos(φ) + A cos(2x) sin(φ)

为了使等式成立，我们需要：

• A cos(φ) = 1
• A sin(φ) = 1

将两式平方相加： A² cos²(φ) + A² sin²(φ) = 1² + 1² => A² = 2 => A = √2 (通常取正值)

将两式相除： tan(φ) = sin(φ) / cos(φ) = 1/1 = 1 => φ = π/4 (我们选择一个满足条件的 φ)

因此，sin(2x) + cos(2x) = √2 sin(2x + π/4)

同理，也可以写成:

sin(2x) + cos(2x) = √2 cos(2x – π/4)

1. 理解变形后的表达式：

2. √2 sin(2x + π/4) 表示： y = sin(2x) 的图像向左平移 π/8 个单位（注意：因为是 2x，平移量是 π/4 除以 2），振幅扩大到原来的 √2 倍。

3. √2 cos(2x – π/4) 表示： y = cos(2x) 的图像向右平移 π/8 个单位，振幅扩大到原来的 √2 倍。

结论

• sin(2x) + cos(2x) 并没有一个固定的数值答案。
• 它的值取决于 x 的取值。
• 通过三角恒等变换，可以将它化简为 √2 sin(2x + π/4) 或 √2 cos(2x – π/4)，便于分析其性质（振幅、周期、相位）。
• 它的值域是 [-√2, √2]。
• 它的周期是 π。