正解：
|MF₁| + |MF₂| = 2a
其中：
- M 是椭圆上的任意一点
- F₁ 和 F₂ 是椭圆的两个焦点
- a 是椭圆的长半轴长
剖析！为什么要这么算？（通俗易懂版）
想象一下，你在钉了两个钉子（F₁ 和 F₂）在木板上。然后，你用一根比两个钉子之间距离要长的绳子，把绳子的两端分别系在两个钉子上。 用笔尖绷紧绳子，移动笔尖，笔尖画出来的轨迹就是一个椭圆。
|MF₁| 代表笔尖到第一个钉子的距离，|MF₂| 代表笔尖到第二个钉子的距离。 因为绳子的长度是固定的，所以无论笔尖在哪里，|MF₁| + |MF₂| 永远等于绳子的长度。
而这个绳子的长度，正好等于 2a，即椭圆的长轴长！
从几何定义到代数表达 (学院派分析)
椭圆的几何定义是：平面内到两个定点（焦点）的距离之和等于常数（大于两个焦点之间的距离）的点的轨迹。
为了将这个几何定义转化为代数表达式，我们需要建立坐标系。 通常，我们把两个焦点放在 x 轴上，且关于原点对称。 设 F₁(-c, 0) 和 F₂(c, 0) 为椭圆的两个焦点， M(x, y) 为椭圆上的任意一点。
根据定义：|MF₁| + |MF₂| = 2a (其中 2a 是一个常数，且 2a > 2c)
现在，使用距离公式：
- |MF₁| = √[(x + c)² + y²]
- |MF₂| = √[(x – c)² + y²]
所以：√[(x + c)² + y²] + √[(x – c)² + y²] = 2a
这是一个复杂的方程。 我们可以通过一系列的代数运算（包括平方、移项等）来化简这个方程，最终得到椭圆的标准方程：
x²/a² + y²/b² = 1
其中 b² = a² – c²。 注意，这里的 a 就是椭圆的长半轴长。 重要的是理解 2a 是椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和，是个常数。
图解说明，加深理解 (可视化学习)
^ y
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B *
/ \
/ \
/ \
/ \
M *--------*
/ \ / \
/ \ / \
A------F1----F2------A' --> x
\ / \ /
\ / \ /
*--------*
\ /
\ /
\ /
B' *
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- A, A’ 分别是长轴的两个端点
- B, B’ 分别是短轴的两个端点
- F1, F2 是焦点
- M 是椭圆上的任意一点
观察：
- |AF1| + |AF2| = |A’F1| + |A’F2| = 2a (长轴长)
- |BF1| + |BF2| = 2a (这个稍微需要一些几何证明，但关键在于 BF1 = BF2 = a)
- 对于椭圆上的任何点M，都有 |MF1| + |MF2| = 2a
易错点提醒 (避坑指南)
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别忘了 2a 的含义！ 2a 是一个常数，代表椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和，也等于长轴长。 很多人容易忽略这一点。
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a > c！ 长半轴长 a 必须大于焦点到中心的距离 c，否则就不能构成椭圆。
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不是椭圆上 所有 的点到 一个 焦点的距离相等！ 只有圆才有这个性质。 椭圆上只有一些特殊点（比如长轴端点，短轴端点）到某个焦点的距离有简单的关系。
总结 (一句话概括)
|MF₁| + |MF₂| = 2a 是椭圆的核心定义，它表达了椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和是一个常数，这个常数等于椭圆的长轴长。 理解这个公式，就掌握了椭圆的灵魂！