极限存在加极限存在等于什么？

答案很简单，极限存在加极限存在等于它们的和，前提是它们都在同一个自变量趋近值的条件下。 但是，为了更透彻地理解它，我们从各个角度进行剖析：

1. 数学定义层面 (严谨派):

假设函数 f(x) 当 x 趋近于 a 时的极限存在，记为 lim (x→a) f(x) = L₁。
同样，函数 g(x) 当 x 趋近于 a 时的极限存在，记为 lim (x→a) g(x) = L₂。

那么，根据极限的加法法则，我们可以得出：

lim (x→a) [f(x) + g(x)] = lim (x→a) f(x) + lim (x→a) g(x) = L₁ + L₂

这个定义明确地表明了，只要两个函数在同一点 a 处都存在极限，它们的和的极限就等于各自极限的和。 注意，同一自变量趋近值a 非常重要！

2. 直观理解层面 (接地气派):

想象一下，你走在一条笔直的路上（代表 f(x)），目标是走到一个特定的路标（代表 L₁）。你的朋友也走在同一条路的旁边（代表 g(x)），他的目标是另一个路标（代表 L₂）。

当你们都越来越接近各自的目标时，你们之间的距离（代表 f(x) + g(x)）自然也会越来越接近两个路标之间的距离（代表 L₁ + L₂）。

简单来说，如果两个东西都能无限接近某个确定值，那么它们的和也会无限接近这两个确定值的和。

3. 反例分析 (警醒派):

如果其中一个函数的极限不存在，或者两个函数趋近的自变量值不同，那么加法法则就不适用。例如：

• lim (x→0) sin(1/x) 不存在。 即使 lim (x→0) x = 0 存在，也不能直接说 lim (x→0) [sin(1/x) + x] = 0。 需要进一步分析，这个极限实际上是存在的，且等于0，但不能用极限的加法法则直接得出结论。
• lim (x→0) x² = 0 和 lim (x→1) x = 1， 但不能将他们直接相加，因为趋近值不同。

这些反例提醒我们，极限加法法则有其适用范围，必须满足前提条件。

4. 图像角度 (形象派):

假设有两个函数的图像， y = f(x) 和 y = g(x)。当 x 趋近于 a 时，f(x) 的图像趋近于一条水平线 y = L₁，g(x) 的图像趋近于另一条水平线 y = L₂。

那么，函数 y = f(x) + g(x) 的图像，实际上就是将 f(x) 和 g(x) 的图像在垂直方向上进行叠加。 可以想象，叠加后的图像也会趋近于一条新的水平线，这条水平线的高度就是 L₁ + L₂。

5. 极限的运算法则 (总结派):

加法只是极限运算法则中的一种。 类似的还有：

• 减法：lim (x→a) [f(x) – g(x)] = lim (x→a) f(x) – lim (x→a) g(x) = L₁ – L₂
• 乘法：lim (x→a) [f(x) * g(x)] = lim (x→a) f(x) * lim (x→a) g(x) = L₁ * L₂
• 除法：lim (x→a) [f(x) / g(x)] = lim (x→a) f(x) / lim (x→a) g(x) = L₁ / L₂ (前提是 lim (x→a) g(x) ≠ 0)
• 常数乘法： lim(x→a) [c * f(x)] = c * lim(x→a) f(x) = c * L₁

这些法则都是在极限存在的前提下成立的。它们极大地简化了极限的计算过程。

结论:

综上所述，极限存在加极限存在等于它们各自极限的和。 要深刻理解这个结论，需要从数学定义、直观理解、反例分析、图像角度和极限运算法则等多个维度进行思考。 牢记前提条件：在同一自变量趋近值的条件下。