cos²a – cos²b 等于多少？ 这个问题看似简单，实则蕴含着多种解题思路和变换技巧。下面我们就从多个角度，将它“剥”个精光！
1. 基础三角恒等式转换法：
这是最直接，也是最常用的方法。我们利用三角恒等式 sin²x + cos²x = 1 来进行转换。
- 将 cos²a 替换为 (1 – sin²a)
- 将 cos²b 替换为 (1 – sin²b)
则：
cos²a – cos²b = (1 – sin²a) – (1 – sin²b) = sin²b – sin²a
所以，第一个答案是：
cos²a – cos²b = sin²b – sin²a
接下来，我们还可以继续变形，利用平方差公式：
sin²b – sin²a = (sin b + sin a)(sin b – sin a)
因此，第二个答案是：
cos²a – cos²b = (sin b + sin a)(sin b – sin a)
2. 和差化积公式法：
这种方法需要对和差化积公式非常熟悉。 我们希望将 cos²a 和 cos²b 直接转化为包含和差形式的表达式。 虽然直接转换 cos²x 不太容易，但我们可以尝试转换 cos 2x。
我们知道：cos 2x = 2cos²x – 1
那么： cos²x = (cos 2x + 1)/2
因此：
cos²a – cos²b = (cos 2a + 1)/2 – (cos 2b + 1)/2 = (cos 2a – cos 2b)/2
现在就可以使用和差化积公式了：
cos A – cos B = -2 sin((A+B)/2) sin((A-B)/2)
将 A = 2a, B = 2b 代入，得到：
cos 2a – cos 2b = -2 sin((2a+2b)/2) sin((2a-2b)/2) = -2 sin(a+b) sin(a-b)
所以：
cos²a – cos²b = (cos 2a – cos 2b)/2 = (-2 sin(a+b) sin(a-b))/2 = – sin(a+b) sin(a-b)
所以，第三个答案是：
cos²a – cos²b = – sin(a+b) sin(a-b)
3. 奇技淫巧：化sin为cos
利用诱导公式，可以将sin转化为cos。比如:
- sin b = cos(π/2 – b)
将 sin²b – sin²a = (sin b + sin a)(sin b – sin a) 中的 sin b 替换为 cos(π/2 – b) sin a 替换为cos(π/2 – a), 则：
cos²a – cos²b = (cos(π/2 – b) + cos(π/2 – a))(cos(π/2 – b) – cos(π/2 – a))
再利用和差化积公式：
- cos A + cos B = 2 cos((A+B)/2) cos((A-B)/2)
- cos A – cos B = -2 sin((A+B)/2) sin((A-B)/2)
那么：
cos(π/2 – b) + cos(π/2 – a) = 2 cos((π/2 – b + π/2 – a)/2) cos((π/2 – b – (π/2 – a))/2) = 2 cos((π – a – b)/2) cos((a – b)/2)
cos(π/2 – b) – cos(π/2 – a) = -2 sin((π/2 – b + π/2 – a)/2) sin((π/2 – b – (π/2 – a))/2) = -2 sin((π – a – b)/2) sin((a – b)/2)
所以，
(cos(π/2 – b) + cos(π/2 – a))(cos(π/2 – b) – cos(π/2 – a)) = -4 cos((π – a – b)/2) cos((a – b)/2) sin((π – a – b)/2) sin((a – b)/2)
稍微整理一下：
-4 cos((π – a – b)/2) sin((π – a – b)/2) cos((a – b)/2) sin((a – b)/2) = -2 sin(π – a – b)sin(a-b) = -2sin(a+b)sin(a-b)
最终结果和前面一样：
cos²a – cos²b = – sin(a+b) sin(a-b) (殊途同归！)
总结：
我们通过多种方法，得到了以下等价形式：
- cos²a – cos²b = sin²b – sin²a
- cos²a – cos²b = (sin b + sin a)(sin b – sin a)
- cos²a – cos²b = – sin(a+b) sin(a-b)
选择哪种形式，取决于具体的问题和需求。 掌握这些变换技巧，能更灵活地解决三角函数问题。