(a² – b²) 究竟等于多少？ 这个问题看似简单，实则蕴含着重要的代数知识，并且有着广泛的应用。下面我们用多种方式来揭开它的神秘面纱：
一、标准答案：平方差公式
最直接的答案就是著名的 平方差公式：
(a² – b²) = (a + b)(a – b)
这便是这个表达式的完美化简。它告诉你，a² – b² 可以分解成两个因式的乘积：(a + b) 和 (a – b)。
二、几何直观：图形面积法
让我们用几何图形来直观地理解它。想象一个边长为 a 的正方形，其面积为 a²。现在，从中挖去一个边长为 b 的小正方形，其面积为 b² (假设 a > b)。 剩下的图形的面积就是 a² – b²。
为了更直观地表示，我们可以将剩下的不规则图形切割并重新拼接成一个矩形。
- 将挖掉小正方形后剩余的图形沿一条边剪开（这条边位于挖掉的小正方形与原正方形之间）。
- 将剪开的部分平移到另一侧，与剩余部分拼接，得到一个长方形。
- 这个长方形的长度是 (a + b)，宽度是 (a – b)。
因此，这个长方形的面积是 (a + b)(a – b)。 而这个长方形的面积，恰好等于最初挖掉小正方形后剩余的面积，即 a² – b²。 这样，我们便通过几何方法证明了平方差公式。
三、代数推导：逐步展开验证
如果你喜欢更严谨的代数方法，我们可以直接展开 (a + b)(a – b) 来验证：
(a + b)(a – b) = a(a – b) + b(a – b)
= a² – ab + ba – b²
= a² – ab + ab – b² (因为乘法满足交换律：ab = ba)
= a² – b²
可以看到，通过简单的代数运算，我们同样得到了 (a + b)(a – b) = a² – b²。
四、实际应用：化简计算，解决问题
平方差公式在数学中有着广泛的应用，尤其是在简化计算方面。
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快速计算数值： 例如，计算 21² – 19²。 利用平方差公式，可以简化为 (21 + 19)(21 – 19) = 40 * 2 = 80。 如果直接计算 21² 和 19² 再相减，计算量会明显增大。
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因式分解： 平方差公式是因式分解的重要工具。 例如，将 x² – 9 分解因式，可以直接写成 (x + 3)(x – 3)。
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解方程： 某些方程可以通过平方差公式进行化简求解。
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证明恒等式： 平方差公式可以用来证明一些代数恒等式。
五、总结：融会贯通，灵活运用
总而言之，(a² – b²) 等于 (a + b)(a – b)，这便是平方差公式。 我们通过标准公式、几何图形、代数推导等多种方式，深刻理解了它的本质。 更重要的是，掌握了平方差公式，我们就能更高效地解决各种数学问题，体现了数学的魅力和实用性。记住，数学学习不仅仅是记住公式，更重要的是理解其背后的原理和应用！