(x – y)² 等于多少？这个问题看似简单，实则蕴含着重要的代数原理。我们可以用多种方式来解读并解答它。

1. 直接展开 (代数法):

这是最直接的方法。利用平方的定义，(x – y)² 可以理解为 (x – y) 乘以 (x – y)。然后使用分配律（也叫乘法分配律）展开：

(x – y)² = (x – y) * (x – y)
= x * (x – y) – y * (x – y)
= x² – xy – yx + y²

由于 xy 和 yx 是相等的（乘法交换律），我们可以合并同类项：

= x² – 2xy + y²

因此，(x – y)² = x² – 2xy + y²

2. 几何解释 (面积法):

想象一个边长为 x 的正方形。现在，我们想从中减去一个边长为 y 的正方形，并且计算剩余的面积。

• 首先，从边长为 x 的正方形中，减去一个边长为 y 的正方形，这个正方形的一个角与大正方形的一个角重合。

• 这意味着我们减去了一个 x * y 的矩形，同时也减去了一个 y * (x – y) 的矩形。

• 为了得到 (x – y)²，我们需要把剩余的部分重新组合。实际上，我们减去了两次 xy，但多减去了一个 yy。 所以需要加回来一次。

• 因此，剩余面积 = x² – xy – xy + y² = x² – 2xy + y²

3. 特例验证 (数字代入法):

为了验证我们的结果是否正确，我们可以代入一些具体的数字。

• 例子 1: 设 x = 5，y = 3

(x – y)² = (5 – 3)² = 2² = 4

x² – 2xy + y² = 5² – 2 * 5 * 3 + 3² = 25 – 30 + 9 = 4

• 例子 2: 设 x = 10，y = 2

(x – y)² = (10 – 2)² = 8² = 64

x² – 2xy + y² = 10² – 2 * 10 * 2 + 2² = 100 – 40 + 4 = 64

通过这些例子，我们可以看到，无论 x 和 y 取什么值，(x – y)² 总是等于 x² – 2xy + y²。

4. 应用举例:

这个公式在很多数学问题中都有应用，例如：

• 简化代数表达式: 可以用来简化包含 (x – y)² 形式的复杂表达式。

• 解方程: 如果方程中出现 (x – y)²，可以将其展开，方便求解。

• 配方法: 在求解二次方程时，配方法经常会用到这个公式。

总结:

(x – y)² = x² – 2xy + y² 这个公式不仅是一个简单的代数表达式，它也代表了一种重要的数学思想。通过不同的方法，我们加深了对它的理解。记住这个公式，并灵活运用它，对解决数学问题大有裨益。