a² – b² 等于 (a + b)(a – b)。这就是著名的平方差公式。下面我们将从多个角度来剖析这个公式：

1. 代数推导（严谨的证明）：

最直接的方式就是展开 (a + b)(a – b) 这个表达式：

(a + b)(a – b) = a(a – b) + b(a – b) = a² – ab + ba – b² = a² – b²

由于 ab 和 ba 是相等的（乘法交换律），它们相互抵消，最终得到 a² – b²。

2. 几何解释（直观的理解）：

想象一个边长为 a 的正方形，它的面积是 a²。现在，在这个正方形上挖去一个边长为 b 的小正方形（其中 b < a）。剩下的面积就是 a² – b²。

现在，把剩下的图形切割成两块。一块是一个长方形，长为 a – b，宽为 a。另一块也是一个长方形，长为 a – b，宽为 b。

将这两个长方形拼接起来，你会得到一个新的长方形，它的长是 a + b，宽是 a – b。因此，这个长方形的面积是 (a + b)(a – b)。

由于这个长方形的面积等于最初剩下的面积 (a² – b²)，所以 a² – b² = (a + b)(a – b)。

3. 数字举例（形象的展示）：

• 例如，如果 a = 5，b = 3，那么：

  • a² – b² = 5² – 3² = 25 – 9 = 16
  • (a + b)(a – b) = (5 + 3)(5 – 3) = 8 * 2 = 16
  • 结果一致！

• 再来一个例子，如果 a = 10，b = 2，那么：

  • a² – b² = 10² – 2² = 100 – 4 = 96
  • (a + b)(a – b) = (10 + 2)(10 – 2) = 12 * 8 = 96
  • 再次验证！

4. 应用场景（实际的价值）：

平方差公式在数学中有着广泛的应用：

• 因式分解： 将一个形如 a² – b² 的表达式分解成 (a + b)(a – b) 的形式。这在简化代数表达式和解方程时非常有用。

• 简便计算： 有时可以利用平方差公式进行快速计算。例如，计算 102² – 98²，可以直接使用 (102 + 98)(102 – 98) = 200 * 4 = 800。

• 化简根式： 在一些根式运算中，平方差公式可以用来消除分母中的根号。例如，化简 1 / (√2 + 1) 可以乘以 (√2 – 1) / (√2 – 1)，得到 (√2 – 1) / (2 – 1) = √2 – 1。

总结：

平方差公式 a² – b² = (a + b)(a – b) 不仅是一个重要的代数公式，也是一个理解数学的强大工具。 通过代数证明、几何解释和数字举例，我们更深刻地认识了这个公式的本质和应用。记住它，你会在数学学习中受益匪浅。