(2 – √3)² = ?
这个问题看似简单，实则蕴含了一些需要理解的概念。 我们可以用几种不同的方式来解决它，每种方法都体现了不同的数学思想。
方法一：直接展开（代数法）
这是最直接的方法，利用完全平方公式：(a – b)² = a² – 2ab + b²
- a = 2
- b = √3
所以，(2 – √3)² = 2² – 2 * 2 * √3 + (√3)²
= 4 – 4√3 + 3
= 7 – 4√3
因此，(2 – √3)² = 7 – 4√3
方法二： 借助几何直观
想象一个边长为2的正方形。从中减去边长为√3的正方形。 问题相当于求得剩余部分的面积组成。
当然，这需要更复杂的图形划分，不太直观，但可以帮助我们理解平方的意义。
方法三：估算与近似值
√3 ≈ 1.732
所以，2 – √3 ≈ 2 – 1.732 = 0.268
那么，(2 – √3)² ≈ (0.268)² ≈ 0.071824
虽然这是一个近似值，但可以让我们对答案有一个大致的把握。 通过计算 7 - 4 * 1.732 = 0.072也可以验证代数法的正确性。
方法四：从另一个角度理解
如果我们仔细观察7 – 4√3，可以发现它也可以写成 (2 – √3)(2 – √3). 这回到了问题的最初形式。
重要概念总结
- 平方：一个数乘以它本身。
- 完全平方公式： (a ± b)² = a² ± 2ab + b² 是解决此类问题的关键工具。
- 根号： √3 表示一个数，它的平方等于3。
- 无理数： √3 是一个无理数，不能精确地表示为两个整数的比率。
最终答案：
(2 – √3)² = 7 – 4√3