让我们一起解开这个数学小谜题：(3 – √2)² 等于多少？
直接计算：最朴实的方法
首先，我们需要回忆一下完全平方公式：(a – b)² = a² – 2ab + b²
现在，将 a = 3，b = √2 代入公式：
(3 – √2)² = 3² – 2 * 3 * √2 + (√2)²
= 9 – 6√2 + 2
= 11 – 6√2
所以，(3 – √2)² = 11 – 6√2
形象理解：几何的解释
我们可以把 (3 – √2)² 看作一个边长为 (3 – √2) 的正方形的面积。 想象一个边长为 3 的大正方形。我们想要在这个大正方形中“挖”去一部分，使得剩余的正方形的边长为 (3 – √2)。
- 大正方形的面积是 3² = 9。
- 需要减去的部分可以拆解为：两个长方形，每个长方形的面积是 3 * √2，总面积是 6√2。但是这样减去会多减一个边长为√2的小正方形。
- 因此需要把小正方形的面积 (√2)² = 2 加回来。
所以，剩余的面积是 9 – 6√2 + 2 = 11 – 6√2
近似计算：感受数值的大小
√2 大约等于 1.414。那么：
- 6√2 大约等于 6 * 1.414 = 8.484
- 11 – 6√2 大约等于 11 – 8.484 = 2.516
所以 (3 – √2)² 大约等于 2.516。 这能让我们对结果的大小有一个大致的认识。
另一种思路：先平方再减？
有人可能会想，能不能先平方 3 和 √2，然后再减？ 这样是不对的！ 因为完全平方公式告诉我们，需要考虑中间的 -2ab 项。 忽略这一项会导致错误的答案。
总结：精准的答案
(3 – √2)² = 11 – 6√2。 这才是这个问题的最终、准确的答案。 通过不同的角度和方法，我们都得到了相同的结论。