b² – a² 等于多少？ 一个问题的多重视角

答案是： (b + a)(b – a)

但这仅仅是答案的表面。 理解这个简单等式的意义，需要从多个角度进行剖析：

1. 最直接的代数分解： 差平方公式

这是最基础的理解方式。 差平方公式是代数学中的一个重要恒等式，其一般形式为：

x² – y² = (x + y)(x – y)

将 x 替换为 b， y 替换为 a，立即得到：

b² – a² = (b + a)(b – a)

这个公式的意义在于，它将一个平方差转化为两个和与差的乘积，在化简代数式、解方程等方面具有广泛应用。

2. 从几何角度理解： 面积的变换

考虑一个边长为 b 的正方形，其面积为 b²。 现在，从这个正方形中切掉一个边长为 a 的正方形（a < b）。 剩下的面积就是 b² – a²。

我们可以巧妙地将剩下的图形进行切割、拼接，将它变成一个长方形。 这个长方形的长是 (b + a)，宽是 (b – a)。 因此，这个长方形的面积是 (b + a)(b – a)。

通过几何变换，我们直观地证明了 b² – a² = (b + a)(b – a)。 这个方法不仅提供了另一种理解方式，也展现了代数与几何之间的联系。

图形示例：

+-----------------+-----------------+
| | a |
| b |-----------------|
| | b-a |
+-----------------+ |
| | a |
+-----------------+-----------------+
b b

将阴影部分剪下，并平移至右侧：

+-----------------+
| |
| b |
| |
+-----------------+-----------------+
| b-a | a |
+-----------------+-----------------+
b+a

这样就形成了一个长为b+a，宽为b-a的长方形，面积为(b+a)(b-a)。

3. 从数值角度理解：举例说明

为了加深理解，我们可以代入一些具体的数值。

例如，设 b = 5，a = 3。 那么：

• b² – a² = 5² – 3² = 25 – 9 = 16
• (b + a)(b – a) = (5 + 3)(5 – 3) = 8 * 2 = 16

再比如，设 b = 10，a = 6。那么：

• b² – a² = 10² – 6² = 100 – 36 = 64
• (b + a)(b – a) = (10 + 6)(10 – 6) = 16 * 4 = 64

这些例子表明，无论 b 和 a 取什么值，只要满足 a < b，等式 b² – a² = (b + a)(b – a) 始终成立。

4. 应用场景： 简化计算

差平方公式在实际计算中非常有用。 例如，计算 51² – 49²。 如果直接计算平方再相减，比较麻烦。 但如果利用差平方公式：

51² – 49² = (51 + 49)(51 – 49) = 100 * 2 = 200

瞬间简化了计算过程。

总结

b² – a² 等于 (b + a)(b – a)。 这不仅仅是一个代数公式，更是一种思维方式，一种解决问题的工具。 从代数分解、几何图形、数值验证到实际应用， 多角度的理解有助于我们更深入地掌握这个看似简单的等式。