a² – 2a + 1 等于多少？ 答案是 (a – 1)² 或者展开后重新组合得到的 (a – 1) * (a – 1)。 下面，我们从不同的角度来详细讲解：
1. 直接因式分解 (最简洁的方式):
观察 a² – 2a + 1 这个表达式，它符合完全平方公式的形式：
- 完全平方公式： (x – y)² = x² – 2xy + y²
对比一下，我们可以发现：
- x 对应 a
- y 对应 1
因此，a² – 2a + 1 可以直接写成 (a – 1)²。 简单，高效，优雅！
2. 展开验证:
如果对因式分解不太确定，我们可以把 (a – 1)² 展开，看看是不是等于 a² – 2a + 1。
(a – 1)² = (a – 1) * (a – 1)
使用分配律 (或者说“多项式乘多项式”法则)：
(a – 1) * (a – 1) = a * a + a * (-1) + (-1) * a + (-1) * (-1)
= a² – a – a + 1
= a² – 2a + 1
展开后确实等于 a² – 2a + 1，验证了我们的结论。
3. 配方法 (更通用的方法):
配方法是一种更通用的解决二次表达式的方法。 我们想把 a² – 2a + 1 变成一个完全平方的形式。
a² – 2a + 1 = a² – 2 * a * 1 + 1²
为了配成完全平方，我们需要一个常数项，而我们已经有了！ 这个常数项正好是 1 (也就是 1² )，所以我们直接得到了完全平方：
a² – 2a + 1 = (a – 1)²
如果常数项不是1，我们需要“加一项，再减一项”来凑成完全平方。 例如，对于 a² – 2a + 3，我们先配成 (a – 1)²，然后再加上剩余的部分：
a² – 2a + 3 = a² – 2a + 1 + 2 = (a – 1)² + 2
4. 几何解释 (形象化理解):
想象一个边长为 a 的正方形。它的面积是 a²。
现在，我们从这个正方形的一边上切掉长度为 1 的一条，从另一边也切掉长度为 1 的一条。
我们切掉了两个长方形，每个长方形的面积是 1 * a = a。 所以总共切掉了 2a 的面积。
但是，在切的过程中，我们多切掉了一个边长为 1 的小正方形 (因为两个长方形重叠了)。这个小正方形的面积是 1² = 1。
所以，剩下的面积是： a² (原始正方形面积) – 2a (切掉的两个长方形的面积) + 1 (补回多切掉的小正方形的面积) = a² – 2a + 1
剩下的面积，实际上是一个边长为 (a – 1) 的正方形，它的面积是 (a – 1)²。 因此，a² – 2a + 1 = (a – 1)²。
总结:
无论使用哪种方法，我们都得出相同的结论： a² – 2a + 1 = (a – 1)²。 选择你最喜欢、最容易理解的方式记忆和应用吧!