(a – b)² = a² – 2ab + b²
这就是问题的答案。接下来，我们将用多种方式，从不同角度，把这个看似简单的公式彻底讲透。
1. 几何解释：图形的魅力
想象一个边长为 a 的正方形。现在，从这个正方形的一条边上截去长度为 b 的一段，从相邻的另一条边上也截去长度为 b 的一段。我们剩下一个边长为 (a – b) 的小正方形。这个小正方形的面积就是 (a – b)²。
现在仔细观察，原先的大正方形被分割成了四个部分：
- 小正方形： 面积为 (a – b)²，这就是我们想要计算的。
- 两个长方形： 每个长方形的长度为 (a – b)，宽度为 b，面积为 b(a – b)。
- 一个小正方形： 边长为 b，面积为 b²。
大正方形的面积 a² 等于这四个部分面积之和：
a² = (a – b)² + 2b(a – b) + b²
展开并整理：
a² = (a – b)² + 2ab – 2b² + b²
(a – b)² = a² – 2ab + b²
2. 代数推导：公式的严谨
我们可以直接使用乘法的分配律来展开 (a – b)²：
(a – b)² = (a – b)(a – b)
(a – b)(a – b) = a(a – b) – b(a – b)
(a – b)(a – b) = a² – ab – ba + b²
因为乘法满足交换律，所以 ab = ba，因此：
(a – b)² = a² – 2ab + b²
3. 特例验证：数字的直观
为了进一步理解，我们用一些具体的数字来验证这个公式。
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例 1：a = 5, b = 2
(a – b)² = (5 – 2)² = 3² = 9
a² – 2ab + b² = 5² – 2(5)(2) + 2² = 25 – 20 + 4 = 9
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例 2：a = 10, b = 3
(a – b)² = (10 – 3)² = 7² = 49
a² – 2ab + b² = 10² – 2(10)(3) + 3² = 100 – 60 + 9 = 49
这些例子验证了公式的正确性。
4. 应用场景：公式的价值
这个公式在数学和物理学中有很多应用。例如：
- 简化计算： 当计算类似 (x – 3)² 这样的表达式时，可以直接应用公式，避免繁琐的乘法。
- 解方程： 在解二次方程时，配方法经常会用到这个公式。
- 物理公式推导： 在物理学的很多公式推导中，也会用到这个公式进行简化。
5. 变式拓展：公式的灵活
公式 (a – b)² = a² – 2ab + b² 还有一些变式：
- (b – a)² = a² – 2ab + b² （因为平方运算的特性，改变括号内两项的顺序，结果不变）
- a² + b² = (a – b)² + 2ab （对原公式进行移项）
这些变式可以在解决不同问题时提供更多的选择。
总结：理解是关键
记住公式 (a – b)² = a² – 2ab + b² 固然重要，但更重要的是理解它的来源、意义和应用场景。通过几何解释、代数推导、特例验证和应用场景的分析，相信你已经对这个公式有了更深刻的理解。希望这篇文章能帮助你更好地掌握这个基础但重要的数学知识。