(a – b)² 等于多少？ 答案是 a² – 2ab + b²。
现在我们来详细解读这个等式，并用多种方式证明和理解它：
1. 直接展开法 (经典演绎):
这是最直接也是最基础的方法。记住平方的含义就是自身乘以自身：
(a – b)² = (a – b) * (a – b)
现在使用分配律（也叫乘法分配律）：
= a * (a – b) – b * (a – b)
= a * a – a * b – b * a + b * b
= a² – ab – ba + b²
因为乘法具有交换律 (ab = ba)，所以：
= a² – ab – ab + b²
= a² – 2ab + b²
2. 几何图形解释 (形象直观):
想象一个边长为 ‘a’ 的正方形。现在，从这个正方形的左边和上边分别减去长度为 ‘b’ 的部分。 剩余的那个小正方形的边长就是 (a – b)。
- 大正方形面积: a²
- 我们减去了两个长方形，每个面积为 a * b，所以总共减去了 2ab
- 但是，我们多减去了一个小正方形，边长为 b，面积为 b²。所以需要加回来。
因此，(a – b)² 的面积就是: a² – 2ab + b²
3. 特殊值法验证 (数字检验):
为了验证公式的正确性，我们可以代入一些具体的数值。 比如，设 a = 5， b = 2。
-
(a – b)² = (5 – 2)² = 3² = 9
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a² – 2ab + b² = 5² – 2 * 5 * 2 + 2² = 25 – 20 + 4 = 9
结果相同，证明公式在数值上也是成立的。你可以尝试更多不同的数值来验证。
4. 与 (a + b)² 的对比 (对比记忆):
记住另一个常见的公式：(a + b)² = a² + 2ab + b²
可以看到，(a – b)² 和 (a + b)² 的区别仅仅在于中间项的符号。一个是 -2ab， 另一个是 +2ab。 理解了这个差异，就能更好地记忆这两个公式。
5. 公式应用举例 (实际运用):
假设你需要计算 98²。 你可以将 98 写成 (100 – 2) 的形式。
那么，98² = (100 – 2)² = 100² – 2 * 100 * 2 + 2² = 10000 – 400 + 4 = 9604
运用公式可以将复杂的计算变得更简单。
总结：
(a – b)² = a² – 2ab + b² 这个公式是代数学中的一个重要基础。 通过直接展开，几何图形解释，特殊值验证，对比记忆，以及实际运用，我们可以更好地理解和掌握它。熟练掌握此公式可以为更复杂的数学问题解决打下坚实的基础。