(√3 – 2)² = ?

这个问题看着简单，实则蕴含着一些基础的数学知识。我们来一步一步地解开它。

解法一：直接展开（代数法的魅力）

这是最直接也是最常用的方法。回忆一下完全平方公式：(a – b)² = a² – 2ab + b²。 那么，我们就可以把(√3 – 2)² 展开：

(√3 – 2)² = (√3)² – 2 * √3 * 2 + 2²
= 3 – 4√3 + 4
= 7 – 4√3

所以，答案就是 7 – 4√3。

解法二：结合图形（几何直观的帮助）

想象一个边长为 (√3 – 2) 的正方形。它的面积就是 (√3 – 2)² 。但是，由于√3 < 2，这意味着 (√3 – 2) 是一个负数，我们在现实世界中无法构建边长为负数的正方形。不过，我们可以用一些巧妙的方法来借助图形理解。

假设有一个正方形，其边长为2，然后我们要在它的四角各切掉一个小的正方形，让剩余的中心部分的边长变成√3。为了达成这个目的，我们需要让中心部分的边长为√3-2（记住，我们这里是在用2减去一个量得到√3，所以这里的√3-2是负的），这意味着切掉的那个小正方形的边长需要经过一定调整。

这个方法虽然可以帮助理解，但计算过程反而会更复杂，不如直接代数展开来得高效。

解法三：换元法（简化问题的技巧）

虽然不太必要，但为了展示换元法的强大，我们也可以尝试一下。设 x = √3 – 2，那么我们需要求的就是 x² 。 这种情况下，换元并没有简化计算。 换元法的关键在于找到合适的变量替换，使问题变得更简单，而不是更复杂。

深入理解：无理数与整数的碰撞

这个问题的答案 7 – 4√3 是一个无理数。 √3 是一个无限不循环小数，它不能精确地表示成两个整数之比。 当 √3 乘以一个整数（比如这里的 4）或者与一个整数进行加减运算（比如这里的 7），结果仍然是一个无理数。

为什么我们需要计算这种表达式？

虽然看起来有点抽象，但这种包含根号的表达式在很多领域都有应用：

• 几何学： 计算三角形的边长、面积等，特别是涉及到特殊角度（如30度、60度）的三角形时。
• 物理学： 在某些物理模型中，比如简谐运动、电磁学等，会出现类似的表达式。
• 工程学： 在结构设计、信号处理等领域，也会用到这些数学知识。

最终答案：

经过计算，(√3 – 2)² = 7 – 4√3 。记住，这是一个无理数，不能化简成更简单的形式。 理解这个问题的关键在于熟练掌握完全平方公式，以及对无理数的概念有清晰的认识。