(a – b)² 等于多少呢？答案是 a² – 2ab + b²。
但为什么呢？ 我们将用多种方式来剖析它，保证你能彻底理解！
1. 最直观的：展开乘法
这是最基础也最容易理解的方式。 (a – b)² 实际上就是 (a – b) * (a – b)。 接下来我们用分配律来展开：
(a – b) * (a – b) = a * (a – b) – b * (a – b)
= a * a – a * b – b * a + b * b
= a² – ab – ab + b²
= a² – 2ab + b²
结论： (a – b)² = a² – 2ab + b²
2. 几何解释：面积大法
想象一个边长为 a 的正方形。 从这个正方形的一条边上减去一段长度为 b 的线段，从另一条边上也减去长度为 b 的线段。 那么，剩下的正方形的边长就是 (a – b)。
现在，我们来计算剩下的正方形的面积，这面积也就是 (a – b)²。
- 原始大正方形面积: a²
- 减去的部分: 从大正方形中减去了两个长方形，每个长方形的面积是 a * b。 因此，减去的总面积是 2ab。
- 需要注意的地方: 在减去两个长方形的时候，我们重复减去了一个小正方形，这个小正方形的边长是 b，面积是 b²。所以我们需要把 b² 加上回来。
因此，剩下的面积 (a – b)² = a² – 2ab + b²
3. 代数恒等式：完全平方公式
(a – b)² = a² – 2ab + b² 就是一个完全平方公式。 这是一个重要的代数恒等式，必须牢记于心。 遇到类似形式的式子，可以直接套用公式进行简化。
4. 巧用公式：与 (a + b)² 的关系
我们知道另一个完全平方公式： (a + b)² = a² + 2ab + b²
那么如何利用它来得到 (a – b)² 呢？ 我们可以把 (a – b)² 写成 [a + (-b)]²。 然后套用 (a + b)² 公式：
[a + (-b)]² = a² + 2 * a * (-b) + (-b)²
= a² – 2ab + b²
5. 数字验证：代入检验
为了确保公式的正确性，我们可以代入一些具体的数字进行验证。 例如，假设 a = 5，b = 2：
- (a – b)² = (5 – 2)² = 3² = 9
- a² – 2ab + b² = 5² – 2 * 5 * 2 + 2² = 25 – 20 + 4 = 9
结果一致！ 多尝试几组不同的数字，你就会对这个公式更加有信心。
总结
(a – b)² = a² – 2ab + b²。 无论是通过展开乘法、几何解释、完全平方公式，还是代入数字进行验证，都证明了这个等式的正确性。 掌握这个公式，可以让你在代数运算中更加得心应手。