(x – 1)² 等于多少？ 这个问题看似简单，实则蕴含着数学运算的基础原理。 答案是：

x² – 2x + 1

现在，我们来从不同的角度深入理解这个结果是如何得到的：

1. 展开法 (基础代数)

这是最直接也是最常用的方法。 (x - 1)² 本质上就是 (x - 1) * (x - 1)。 运用分配律（也叫“乘法分配律”），我们可以这样展开：

(x - 1) * (x - 1) = x * (x - 1) - 1 * (x - 1)
= x*x - x*1 - 1*x + 1*1
= x² - x - x + 1
= x² - 2x + 1

2. 完全平方公式 (快速解法)

数学家们总结出了一些常用的公式，可以大大提高计算效率。 其中一个就是完全平方公式：

(a - b)² = a² - 2ab + b²

在这个公式中，我们可以把 x 看作 a，把 1 看作 b。 直接代入公式，得到：

(x - 1)² = x² - 2 * x * 1 + 1² = x² - 2x + 1

是不是快很多？

3. 几何解释 (形象理解)

想象一个边长为 x 的正方形。 现在，我们想要减去一个边长为 1 的正方形，两次。

• 第一次减去： 从原正方形的一条边上切掉一个边长为 1 的窄条，剩余部分的面积是 x(x - 1) = x² - x。

• 第二次减去： 从原正方形的另一条边上再切掉一个边长为 1 的窄条。 但是，注意！ 我们重复减去了一个 1×1 的小正方形！ 为了抵消这种重复，我们需要把这个小正方形加回来。

• 总面积： 最终剩下的面积是 x² - x - x + 1 = x² - 2x + 1

这种方法虽然比较抽象，但可以帮助我们从视觉上理解公式的由来。

4. 特例验证 (检验答案)

为了验证我们的答案是否正确，我们可以选择一个具体的数字代入 x，然后分别计算 (x - 1)² 和 x² - 2x + 1 的值。

• 假设 x = 3

  • (x - 1)² = (3 - 1)² = 2² = 4
  • x² - 2x + 1 = 3² - 2 * 3 + 1 = 9 - 6 + 1 = 4

• 假设 x = 0

  • (x - 1)² = (0 - 1)² = (-1)² = 1
  • x² - 2x + 1 = 0² - 2 * 0 + 1 = 0 - 0 + 1 = 1

无论 x 取何值，两种计算方式的结果都相同，这进一步验证了我们的答案是正确的。

总结：

(x - 1)² = x² - 2x + 1。 掌握这个公式及其推导过程，可以帮助你更轻松地解决各类代数问题。 从基础的展开法到高效的公式法，再到形象的几何解释，希望这些方法能帮助你彻底理解这个问题的本质。