√(1 – x²) 等于什么，这个问题看似简单，实际上蕴含着丰富的数学知识和几何意义。我们可以从多个角度来理解它：

1. 函数角度：函数表达式与定义域

从函数的角度看，我们可以把 √(1 – x²) 视为一个函数 f(x) = √(1 – x²)。首先要注意的是，根号下的表达式必须非负，即 1 – x² ≥ 0。解不等式可得 x² ≤ 1，所以 -1 ≤ x ≤ 1。这意味着函数 f(x) 的定义域是 [-1, 1]，也就是说，只有当 x 取值在这个范围内时，√(1 – x²) 才有实数解。

2. 方程角度：几何图形的秘密

让我们尝试对方程 y = √(1 – x²) 进行变换。将等式两边平方，得到 y² = 1 – x²。移项后得到 x² + y² = 1。这是一个圆的标准方程，圆心在原点 (0, 0)，半径为 1。

但是，要注意我们最初的方程是 y = √(1 – x²)，这意味着 y 必须是非负的。因此，原方程实际上表示的是单位圆的上半部分，包括端点 (-1, 0) 和 (1, 0)。想象一下一个圆，只保留上半个，那就是 y = √(1 – x²) 的图像。

3. 三角函数角度：巧妙的代换

我们可以利用三角函数进行代换。设 x = sinθ，其中 -π/2 ≤ θ ≤ π/2。那么 √(1 – x²) = √(1 – sin²θ)。根据三角恒等式 sin²θ + cos²θ = 1，我们有 1 – sin²θ = cos²θ。所以 √(1 – x²) = √cos²θ。

因为 -π/2 ≤ θ ≤ π/2，在这个范围内，cosθ ≥ 0。因此，√cos²θ = cosθ。 所以，当 x = sinθ，且 -π/2 ≤ θ ≤ π/2时， √(1 – x²) = cosθ。

4. 具体数值：验证与理解

我们可以通过一些具体的数值来验证。

• 当 x = 0 时，√(1 – x²) = √(1 – 0²) = √1 = 1。
• 当 x = 1 时，√(1 – x²) = √(1 – 1²) = √0 = 0。
• 当 x = -1 时，√(1 – x²) = √(1 – (-1)²) = √0 = 0。
• 当 x = 1/2 时，√(1 – x²) = √(1 – (1/2)²) = √(1 – 1/4) = √(3/4) = √3 / 2。

这些数值都符合单位圆上半部分的规律。

总结：多面体般的理解

综上所述，√(1 – x²) 的结果取决于具体的场景和角度。

• 作为函数，它定义域是 [-1, 1]，且值域是 [0, 1]。
• 作为方程，它表示单位圆的上半部分。
• 利用三角函数，它可以转化为 cosθ (在特定范围内)。
• 通过数值计算，我们可以验证其行为并加深理解。

理解了这几个角度，就能够更加全面地掌握 √(1 – x²) 的含义。记住，数学的美妙之处就在于它的多面性和联系性。